Question

7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x²+mx+n经过点A（3，0）、B（0，-3），点P是直线AB上的动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，设点P的横坐标为t．
（1）分别求出直线AB和这条抛物线的解析式．
（2）若点P在第四象限，连接AM、BM，当线段PM最长时，求△ABM的面积．
（3）是否存在这样的点P，使得以点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）待定系数法分别求解可得；
（2）根据题意可设点P的坐标是（t，t-3），则M（t，t²-2t-3），继而可得PM=（t-3）-（t²-2t-3）=-（t-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{9}{4}$，知PM最长值为$\frac{9}{4}$，根据S_△ABM=S_△BPM+S_△APM可得答案；
（3）由PM∥OB，可知当PM=OB时点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形，据此可分以下三种情况：①当P在第四象限；②当P在第一象限；③当P在第三象限；由PM=OB=3列出关于t的方程分别求解可得．

解答 解：（1）把A（3，0）B（0，-3）代入y=x²+mx+n，得
$\left\{\begin{array}{l}{9+3m+n=0}\\{n=-3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=-2}\\{n=-3}\end{array}\right.$，
所以抛物线的解析式是y=x²-2x-3．
设直线AB的解析式是y=kx+b，
把A（3，0）B（0，-3）代入y=kx+b，得：$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
所以直线AB的解析式是y=x-3；

（2）设点P的坐标是（t，t-3），则M（t，t²-2t-3），
∵p在第四象限，
∴PM=（t-3）-（t²-2t-3）=-t²+3t=-（t-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{9}{4}$，
当t=$\frac{3}{2}$时，二次函数取得最大值$\frac{9}{4}$，即PM最长值为$\frac{9}{4}$，
则S_△ABM=S_△BPM+S_△APM=$\frac{1}{2}$×$\frac{9}{4}$×3=$\frac{27}{8}$．

（3）存在，
理由如下：

∵PM∥OB，
∴当PM=OB时，点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形，
①当P在第四象限：PM=OB=3，PM最长时只有$\frac{9}{4}$，所以不可能有PM=3．
②当P在第一象限：PM=OB=3，（t²-2t-3）-（t-3）=3，
解得t₁=$\frac{3+\sqrt{21}}{2}$，t₂=$\frac{3-\sqrt{21}}{2}$（舍去），
所以P点的横坐标是$\frac{3+\sqrt{21}}{2}$；
③当P在第三象限：PM=OB=3，t²-3t=3，解得t₁=$\frac{3+\sqrt{21}}{2}$（舍去），t₂=$\frac{3-\sqrt{21}}{2}$，
所以P点的横坐标是$\frac{3-\sqrt{21}}{2}$．
所以P点的横坐标是$\frac{3-\sqrt{21}}{2}$或$\frac{3+\sqrt{21}}{2}$．

点评 本题考查了二次函数的综合题：先利用待定系数法求函数的解析式，然后根据解析式表示点的坐标，再利用坐标表示线段的长，利用二次函数的性质求线段的最大值．同时考查了平行四边形的判定定理以及一元二次方程的解法．