Question

如图，△ABC中，点O是AC上一动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACH的平分线于点F．
（1）证明：EO=FO；
（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形；
（3）当O是AC上怎样的点，且AC与BC具有什么关系时，四边形AECF为正方形．

Answer 1

考点：正方形的判定,等腰三角形的判定与性质,矩形的判定

专题：

分析：（1）由已知MN∥BC，CE、CF分别平分∠BCO和∠HCO，可推出∠OEC=∠OCE，∠OFC=∠OCF，所以得EO=CO=FO．
（2）由（1）得出的EO=CO=FO，点O运动到AC的中点时，则由EO=CO=FO=AO，所以这时四边形AECF是矩形．
（3）由已知和（2）得到的结论，点O运动到AC的中点时，且△ABC满足∠ACB为直角的直角三角形时，则推出四边形AECF是矩形且对角线垂直，所以四边形AECF是正方形．

解答：（1）证明：∵MN∥BC，
∴∠OEC=∠BCE，∠OFC=∠HCF，
又∵CE平分∠BCO，CF平分∠HCO，
∴∠OCE=∠BCE，∠OCF=∠HCF，
∴∠OCE=∠OEC，∠OCF=∠OFC，
∴EO=CO，FO=CO，
∴OE=OF；

（2）解：当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形．
理由如下：
∵当点O运动到AC的中点时，AO=CO，
又∵EO=FO，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵FO=CO，
∴AO=CO=EO=FO，
∴AO+CO=EO+FO，即AC=EF，
∴四边形AECF是矩形；

（3）解：当点O运动到AC的中点时，且△ABC满足∠ACB为直角的直角三角形时，四边形AECF是正方形．
∵由（2）知，当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形，
已知MN∥BC，当∠ACB=90°，则
∠AOF=∠COE=∠COF=∠AOE=90°，
∴AC⊥EF，
∴四边形AECF是正方形．

点评：此题考查的是正方形和矩形的判定，角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定等知识．解题的关键是由已知得出EO=FO，然后根据（1）的结论确定（2）（3）的条件．