Question

如图，在矩形ABCD中，AB=3cm，BC=4cm．设P，Q分别为BD，BC上的动点，点P自点D沿DB方向作匀速移动的同时，点Q自点B沿BC方向向点C作匀速移动，移动的速度均为1cm/s，设P，Q移动的时间为t（0≤t≤4）．
（1）当t为何值时，PQ⊥BC？
（2）写出△PBQ的面积S（cm²）与时间t（s）之间的函数表达式，当t为何值时，S有最大值？最大值是多少？
（3）当t为何值时，△PBQ为等腰三角形？

Answer 1

解：（1）由题意知：BD=5，BQ=t，QC=4-t，DP=t，BP=5-t，
∵PQ⊥BC，
∴△BPQ∽△BDC，
∴即，
∴，
当时，PQ⊥BC；

（2）过点P作PM⊥BC，垂足为M，
∴△BPM∽△BDC，
∴，
∴，
∴=-（t-）²+，
∴当时，S有最大值；

（3）①当BP=BQ时，5-t=t，
∴
②当BQ=PQ时，作QE⊥BD，垂足为E，此时，BE=
∴△BQE∽△BDC
∴即
∴
③当BP=PQ时，作PF⊥BC，垂足为F，此时，BF=
∴△BPF∽△BDC
∴即
∴
∴，，，均使△PBQ为等腰三角形．
分析：（1）由已知可以求出BD的值，因为PQ⊥BC，所以△BPQ∽△BDC，根据三角形相似得到三角形的边长比，根据边长比可得一个关于t的一元一次方程，解此方程可得t的值；
（2）过点P作PM⊥BC，垂足为M，从而得到△BPM∽△BDC，根据相似比例求出PM的长，可以得到用t表示面积的函数解析式，再求最大值；
（3）分三种情况讨论三角形PBQ为等腰三角形，即BP=BQ，BQ=PQ和BP=PQ，再分别求t的值．
点评：本题主要考查相似三角形的判定和性质，其中涉及解一元一次方程和等腰三角形的相关性质．