Question

（1）如图（1），点M，N分别在等边△ABC的BC，AC边上，且BM=CN，AM，BN交于点Q．求证：∠BQM=60°．
（2）判断下列命题的真假性：
①若将题（1）中“BM=CN”与“∠BQM=60°”的位置交换，得到的是否仍是真命题？
②若将题（1）中的点M，N分别移动到BC，CA的延长线上，是否仍能得到∠BQM=60°？（如图2）
③若将题（1）中的条件“点M，N分别在正△ABC的BC，AC边上”改为“点M，N分别在正方形ABCD的BC，CD边上”，是否仍能得到∠BQM=60°？（如图3）
在下列横线上填写“是”或“否”：①

是

；②

是

；③

否

．并对②，③的判断，选择其中的一个给出证明．

Answer 1

分析：（1）根据等边三角形性质得出AB=AC，∠ABC=∠C=60°，根据SAS证△ABM≌△BCN，推出∠NBC=∠BAM，求出∠BAM+∠ABN=60°即可；
（2）①根据∠BQM=60°和∠ABC=60°求出∠BAM=∠CBN，推出△BCN≌△ABM即可；
②同样还是根据条件判定△ACM≌△BAN，得到∠AMC=∠BNA，所以∠NQA=∠NBC+∠BMQ=∠NBC+∠BNA=180°-60°=120°，即∠BQM=60°；
③同上，证明Rt△ABM≌Rt△BCN，得到∠AMB=∠BNC，所以，∠QBM+∠QMB=90°，∠BQM=90°，即∠BQM≠60°．

解答：（1）证明：在△ABM和△BCN中，

BM=CN ∠ABM=∠BCN AB=BC

，
∴△ABM≌△BCN（SAS），
∴∠BAM=∠CBN，
∴∠BQM=∠BAQ+∠ABQ=∠MBQ+∠ABQ=60；

（2）解：①是；②是；③否；
②的证明：如图，
在△ACM和△BAN中，

CM=AN ∠ACM=∠BAN=120° AC=AB

，
∴△ACM≌△BAN（SAS），
∴∠AMC=∠BNA，
∴∠NQA=∠NBC+∠BMQ=∠NBC+∠BNA=180°-60°=120°，
∴∠BQM=60°；
③的证明：如图，
在Rt△ABM和Rt△BCN中，

BM=CN ∠ABC=∠C AB=AC

，
∴Rt△ABM≌Rt△BCN（SAS），
∴∠AMB=∠BNC．
又∵∠NBM+∠BNC=90°，
∴∠QBM+∠QMB=90°，
∴∠BQM=90°，即∠BQM≠60°．

点评：主要考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定及性质；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、HL．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．