Question

已知⊙O的半径为2，点P是⊙O内一点，且OP=

3

，过P作互相垂直的两条弦AC、BD，则四边形ABCD面积的最大值为（　　）

• A、4
• B、5
• C、6
• D、7

Answer 1

分析：这道题在考查垂径定理的基础上，还考查了当两数的和一定时，两数相等时乘积最大以及一元二次（根式）方程．

解答：解：如图
连接OA、OD作OE⊥AC OF⊥BD垂足分别为E、F
∵AC⊥BD
∴四边形OEPF为矩形
已知OA=OC=2  OP=

3

设OE为x，则OF=EP=

OP2- OE2

=

3- x2

∴AC=2AE=2

OA2- OE2

=2

4- x2

BD=2DF=2

OD2- OF2

=2

x2+1

如设OF为y，同理可得
AC=2

y2+1

，BD=2

4-y2

∴AC²+BD²=20，
由此可知AC与BD两线段的平方和为定值
又∵任意对角线互相垂直四边形的面积等于对角线乘积的

1

2

当AC=BD时
即

y2+1

=

4-y2

y=

6

2

AC=BD=

10

∴四边形ABCD的面积等于5
故选B．

点评：此题是一道综合性较强的题，融合了方程思想、数形结合思想．还可用a²+b²≥2ab解决，设OE=a、OF=b．分别用a、b表示AC、BD的长．