Question

如图，在矩形ABCD中，AC与DB相交于O，OE是AD的垂线，垂足为E，AF是DB的垂线，垂足为F，已知OE=2，DF=3BF，则AE=

 

．

Answer 1

分析：根据题意可证明F是OB的中点，进一步证明△AOB为等边三角形，从而得∠OAE=30°．在Rt△AOE中求AE．

解答：解：∵AF⊥DB，又OE⊥AD，
∴∠OEA=∠AFO=90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴DO=BO=CO=AO=

1

2

BD=

1

2

AC，
又∵DF=3BF，
∴OA=2OF，
∴∠OAF=30°．
∴∠FOA=60°，
∴∠AOD=120°，
∵AO=DO，
∴∠OAE=30°，
∴OE=

1

2

OA．
∵OE=2，
∴OA=4．
所以根据勾股定理得AE=2

3

．
故答案为2

3

．

点评：本题考查的是矩形的性质以及勾股定理等有关知识，难度中等．考生关键是证明DF=3BF?∠OAE=30度．