Question

已知抛物线y=-mx²+mx+n与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），且AB=5．
（1）请你写出一个对于任意m，n值（满足题意）都成立的结论，并说明理由；
（2）求A、B两点的坐标；
（3）设点B关于点A的对称点为B′，问：是否存在△BCB′为等腰三角形的情形？若存在，请求出所有满足条件的n值；若不存在，请直接作出否定的判断，不必说明理由．

Answer 1

解：（1）抛物线的对称轴为x=-=（答案不唯一）；

（2）抛物线为y=-mx²+mx+n=-m（x²-x+）+n+=-m（x-）²+n+，
所以，对称轴为x=，
∵AB=5，
∴点A、点B到对称轴的距离为，
∴B（3，0），A（-2，0）；

（3）存在△BCB′为等腰三角形的情形．
由已知得B′（-7，0），C（0，n）且C为y轴上的点，B′O＞BO，
则不可能有CB′=CB的情况，因此存在下面两种情况：
①若BB′=BC，则有10=，则有n=±；
②若BB′=B′C，则有10=，则有n=±；
所以，当n值为±或±时，存在满足上述条件的点．
分析：（1）根据二次函数解析式，所写结论与m、n值无关即可，例如抛物线的对称轴；
（2）把函数解析式整理成顶点式形式，然后根据对称轴与AB的长度确定出点A、B到对称轴的距离，从而得解；
（3）先求出点B′、C的坐标，然后判断出B′O＞BO，可得CB′≠CB，再分CB′=CB与BB′=B′C两种情况利用勾股定理列式进行计算即可得解．
点评：本题是二次函数综合题型，主要考查了二次函数的性质，二次函数的对称性，等腰三角形的性质，（1）关键在于所写结论与m、n值无关，（3）要根据等腰三角形腰长的不同分情况讨论．