Question

如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD平分∠BAC，交⊙O于点D，弦DE∥BA，交AC于点F，OF与AD有怎样的位置关系，为什么？

Answer 1

考点：三角形的外接圆与外心,全等三角形的判定与性质

专题：

分析：设AD与CF相交于点G，连接OA，OD，根据AD平分∠BAC得出∠BAD=∠2，再由AB∥DE，得出∠BAD=∠1，故可得出∠1=∠2，即AF=DF，由SSS定理得出△AOF≌△DOF，故∠3=∠4，根据ASA定理得出△AGF≌△DGF，由此可得出结论．

解答：解：OF垂直平分AD．
理由：设AD与CF相交于点G，连接OA，OD，
∵OA、OD是⊙O的半径，
∴OA=OD．
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠2．
∵AB∥DE，
∴∠BAD=∠1，
∴∠1=∠2，
∴AF=DF．
在△AOF与△DOF中，

AF=DE OA=OD OF=OF

，
∴△AOF≌△DOF（SSS），
∴∠3=∠4．
在△AGF与△DGF中，

∠2=∠1 AF=DF ∠3=∠4

，
∴△AGF≌△DGF（ASA），
∴AG=DG，∠AGF=∠DGF．
∵∠AGF+∠DGF=180°，
∴∠AGF=∠DGF=90°，
∴OF垂直平分AD．

点评：本题考查的是三角形的外接圆与外心，熟知角平分线的性质及全等三角形的判定与性质是解答此题的关键．