Question

如图，在正方形ABCD中，E是AB的中点，连接CE，过B作BF⊥CE交AC于F．求证：CF=2FA．

Answer 1

分析：延长BF交AD于G，根据正方形的性质得到∠ABG=∠BCE，可证△ABG≌△BCE，所以AG=BE，利用AG∥BC，可知FA：CF=AG：BC=1：2，所以CF=2FA．

解答：证明：延长BF交AD于G，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=AD，∠DAB=∠ABC=90°，AD∥BC，
∴∠ABG+∠CBG=90°，
∵BF⊥CE，
∴∠CBG+∠BCE=90°，
∴∠ABG=∠BCE，
∴△ABG≌△BCE，
∴AG=BE，
∵BE=

1

2

AB，
∴AG=

1

2

AB=

1

2

BC，
∴AG：BC=1：2，
∵AD∥BC，
∴FA：CF=AG：BC=1：2，
∴CF=2FA．

点评：主要考查了正方形的性质和全等三角形的判定以及相似三角形中成比例线段的运用．根据正方形的性质找到相等的边和角来证明三角形全等，并利用相似比求线段之间的数量关系是解题的关键．