Question

6．已知：△ABC内接于⊙O，点D在AB上，BD=CD，连接AO．
（1）如图1，求证：∠OAC=∠OAB+∠ACD；
（2）如图2，连接BO并延长交CD于点E，若BE⊥CD，求证：AC=BC；
（3）如图3，在（2）的条件下，延长BE交⊙O于点F，连接AF、CF，若AF=$\frac{7}{2}$，AC=10，求△AFC的面积．

Answer 1

分析 （1）由等腰三角形的性质和三角形的外角性质证出∠AOC=2∠ABC，由圆周角定理证出∠ADC=∠AOC，再由对顶角相等和等腰三角形的性质即可得出结论；
（2）设∠OAB=∠OCD=x，由等腰三角形的性质得出∠OAB=∠OBA=x，由三角形的外角性质得出∠AOE=2x，再由直角三角形的性质和三角形的外角性质即可得出结论；
（3）过点C作CH⊥AF交AF的延长线于点H，连接CO并延长交AB于点S．证出四边形ASCH为矩形，由垂径定理得出AS=BS，由三角形中位线定理得出OS=$\frac{1}{2}$AF=$\frac{7}{4}$，设OB=OC=r，由勾股定理得出方程，解方程求出BS，即可得出△AFC的面积．

解答 （1）证明：连接OC．如图1所示：
∵BD=CD，
∴∠DBC=∠DCB，∠ADC=2∠DBC，
∵∠AOC=2∠ABC，
∴∠ADC=∠AOC，
∵∠AGD=∠OGC，
∴∠BAO=∠GCO，
∵∠OCA=∠OCD+∠DAC，
∴∠OCA=∠OAB+∠ACD，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠OAC=∠OAB+∠ACD；
（2）证明：连接OC．如图2所示：
由（1）可知∠OAB=∠OCD，
设∠OAB=∠OCD=x，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=x，
∴∠AOE=2x，
∵BE⊥CD，
∴∠BEC=90°，
∴∠EOC=90°-x，
∴∠AOC=∠AOE+∠EOC=90°+x，
∵∠BOC=∠OCE+∠BEC=90°+x，
∴∠AOC=∠BOC
∵AC=BC；                        
（3）解：过点C作CH⊥AF交AF的延长线于点H，连接CO并延长交AB于点S．如图3所示：
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∵BD=CD，
∴∠DBC=∠DCB，
在△BCS和△CBE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DBC=∠DCB}&{\;}\\{BC=CB}&{\;}\\{∠OCB=∠OBC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BCS≌△CBE（ASA），
∴∠BSC=∠CEB=90°，
∵BF为⊙O直径，
∴∠BAF=90°，
∵∠ASC=∠SAH=∠AHC=90°，
∴四边形ASCH为矩形，
∵OS⊥AB，
∴AS=BS，
∵OB=OF，
∴OS=$\frac{1}{2}$AF=$\frac{7}{4}$，
设OB=OC=r，∵AC=BC=10，
∴在Rt△OBS中 BS²=OB²-OS²，在Rt△CBS中 BS²=BC²-CS²，
∴OB²-OS²=BC²-CS²，
即r²-（$\frac{7}{4}$）²=10²-（r+$\frac{7}{4}$）²，
解得：r=$\frac{25}{4}$，或r=-8（舍去），
∴AS=BS=6，CS=8，
∵四边形ASCH为矩形，
∴AH=SC=8，CH=AS=BS=6，
∴△AFC的面积=$\frac{1}{2}$AF•CH=$\frac{1}{2}$×$\frac{7}{2}$×6=$\frac{21}{2}$．

点评 本题是圆的综合题目，考查了圆周角定理、垂径定理、等腰三角形的性质、三角形的外角性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、矩形的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度．