Question

如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D，锐角∠DAB的平分线AC交⊙O于点C，作CD⊥AD，垂足为D，直线CD与AB的延长线交于点E。

（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）过点O作线段AC的垂线OE，垂足为E（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（3）若CD=4，AC=4，求垂线段OE的长。

Answer 1

解：（1）连接OC，
∵CD切⊙O于点C，
∴OC⊥CD，
又∵AD⊥CD，
∴OC∥AD，
∴∠OCA=∠DAC，
∵OC=OA，
∴∠OCA=∠OAC，
∴∠OAC=∠DAC，
∴AC平分∠DAB；
（2）点O作线段AC的垂线OE，如图所示

（3）在Rt△ACD中，CD=4，AC=4，
∴AD==8，
∵OE⊥AC，
∴AE=AC=2，
∵∠OAE=∠CAD，∠AEO=∠ADC，
∴△AEO∽△ADC，
∴，
∴OE=×CD=×4= ，
即垂线段OE的长为。