Question

菱形周长2p，对角线之和为x，其面积为y，则y与x的函数关系式为（不写自变量的取值范围）

 

．

Answer 1

分析：菱形周长为2p，菱形的边长AB=

p

2

，则根据勾股定理可得出AC²+BD²=p² ①，又AC+BD=x，AC²+2AC•BD+BD²=x² ②，两式联立即可求出AC•BD的值，继而求出菱形的面积表达式．

解答：解：根据题意画出图形如下所示：
∵菱形周长为2p，
∴菱形的边长AB=

p

2

，
在Rt△AOB中，根据勾股定理得：AO²+BO²=

AC2

4

+

BD2

4

=AB²=

p2

4

，
∴AC²+BD²=p² ①，
∵AC+BD=x，
∴AC²+2AC•BD+BD²=x² ②，
①②两式联立得：AC•BD=

1

2

(x2-p2)，
∴菱形的面积y=

1

2

AC•BD=

1

4

（x²-p²）．
故答案为：y=

1

4

（x²-p²）．

点评：本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了菱形对角线互相垂直平分的性质，考查了菱形各边长相等的性质，本题中求AC•BD的值是解题的关键．