Question

4．在平面直角坐标系中xOy中，已知点A（0，2），B（2，3），点P在x轴上运动，当点P到A，B两点距离之差的绝对值最大时，点P的坐标是（-4，0）．

Answer 1

分析 由三角形两边之差小于第三边可知，当A、B、P三点不共线时，|PA-PB|＜AB，又因为A（0，2），B（2，3）两点都在x轴同侧，则当A、B、P三点共线时，|PA-PB|=AB，即|PA-PB|≤AB，所以本题中当点P到A、B两点距离之差的绝对值最大时，点P在直线AB上．先运用待定系数法求出直线AB的解析式，再令y=0，求出x的值即可．

解答 解：由题意可知，当点P到A、B两点距离之差的绝对值最大时，点P在直线AB上．
设直线AB的解析式为y=kx+b，
∵A（0，2），B（2，3），
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{2k+b=3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=2}\end{array}\right.$．
∴y=$\frac{1}{2}$x+2，
令y=0，得0=$\frac{1}{2}$x+4，
解得x=-4．
∴点P的坐标是（-4，0）．
故答案为（-4，0）．

点评 本题考查了三角形的三边关系定理以及坐标与图形的性质，运用待定系数法求一次函数的解析式及x轴上点的坐标特征，难度适中．根据三角形两边之差小于第三边得出当点P在直线AB上时，P点到A、B两点距离之差的绝对值最大是解题的关键．