Question

如图，正方形ABCD内一点P，若点P满足PA=1，PB=2，PC=3．
（1）将△ABP绕点B顺时针旋转90°后得到△BCQ，请画出旋转后的图形，保留必要的作图痕迹．
（2）试判断△PCQ属于哪类特殊三角形，并证明你的结论．
（3）请求出∠APB的度数．

Answer 1

解：（1）作∠QBC=∠ABP，BP=BQ=2，连接QC即可得出△BCQ；

（2）连接PQ，
在Rt△PBQ中，
∵BP=BQ=2，
∴PQ²=BP²+BQ²=2²+2²=8，
在△PCQ中，
∵PC=3，QC=AP=1，
∴PC²=PQ²+QC²，
∴△PCQ是直角三角形，∠PQC=90°；

（3）∵BP=BQ=2，∠PBQ=90°，
∴△PBQ是等腰直角三角形，
∴∠BQP=45°，
∵由（2）∠PQC=90°，
∴∠BQC=∠BQP+∠PQC=45°+90°=135°，
∵△BQC由△BPA旋转而成，
∴∠APB=∠BQC=135°．
分析：（1）作∠QBC=∠ABP，BP=BQ=2，连接QC即可得出△BCQ；
（2）连接PQ，由勾股定理求出PQ²的长，再根据勾股定理的逆定理判断出△PCQ的形状即可．
（3）先由△BPQ是等腰直角三角形求出∠BQP的度数，再根据（2）中求出的∠PQC=90°即可得出∠BQC的度数，进而得出结论．
点评：本题考查的是作图-旋转变换、勾股定理的逆定理及正方形的性质，熟知图形经过旋转后所得图形与原图形全等是解答此题的关键．