Question

如图，⊙O中，直径CD⊥弦AB于E，AM⊥BC于M，交CD于N，连AD．
（1）求证：AD=AN； 
（2）若AB=4

2

，ON=1，求⊙O的半径．

Answer 1

分析：（1）先根据圆周角定理得出∠BAD=∠BCD，再由直角三角形的性质得出∠ANE=∠CNM，故可得出∠BCD=∠BAM，由全等三角形的判定定理得出△ANE≌△ADE，故可得出结论；
（2）先根据垂径定理求出AE的长，设NE=x，则OE=x-1，NE=ED=x，r=OD=OE+ED=2x-1
连结AO，则AO=OD=2x-1，在Rt△AOE中根据勾股定理可得出x的值，进而得出结论．

解答：（1）证明：∵∠BAD与∠BCD是同弧所对的圆周角，
∴∠BAD=∠BCD，
∵AE⊥CD，AM⊥BC，
∴∠AMC=∠AEN=90°，
∵∠ANE=∠CNM，
∴∠BCD=∠BAM，
∴∠BAM=BAD，
在△ANE与△ADE中，
∵

∠BAM=∠BAD AE=AE ∠AEN=∠AED

，
∴△ANE≌△ADE，
∴AD=AN；

（2）解：∵AB=4

2

，AE⊥CD，
∴AE=2

2

，
又∵ON=1，
∴设NE=x，则OE=x-1，NE=ED=x，r=OD=OE+ED=2x-1
连结AO，则AO=OD=2x-1，
∵△AOE是直角三角形，AE=2

2

，OE=x-1，AO=2x-1，
∴（2

2

）²+（x-1）²=（2x-1）²，解得x=2，
∴r=2x-1=3．

点评：本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．