Question

直线y=kx-4与x轴、y轴分别交于B、C两点，且

OC

OB

=

4

3

．
（1）求点B的坐标和k的值；
（2）若点A时第一象限内的直线y=kx-4上的一动点，则当点A运动到什么位置时，△AOB的面积是6？
（3）在（2）成立的情况下，x轴上是否存在点P，使△POA是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）由直线y=kx-4与x轴、y轴分别交于B、C两点，可求得点C的坐标，又由

OC

OB

=

4

3

，可求得OB=3，即可求得点B的坐标，然后将其坐标代入直线y=kx-4，即可求得k的值；
（2）由△AOB的面积是6，可求得点A的纵坐标，然后代入解析式，即可求得点A的坐标；
（3）分别从OA=OP，OA=AP与OP=AP去分析求解即可求得答案．

解答：解：（1）∵直线y=kx-4与x轴、y轴分别交于B、C两点，
∴点C（0，-4），
∴OC=4，
∵

OC

OB

=

4

3

，
∴OB=3，
∴点B（3，0），
∴3k-4=0，
解得：k=

4

3

；

（2）设A的纵坐标为h，
∵S_△AOB=

1

2

OB•h=6，且OB=3，
∴h=4，
∵直线BC的解析式为：y=

4

3

x-4，
∴当y=4时，4=

4

3

x-4，
解得：x=6，
∴点A（6，4），
∴当点A运动到（6，4）时，△AOB的面积是6；

（3）存在．
∵A（6，4），
∴OA=

62+42

=2

13

，
①若OP=OA=2

13

，则点P₁（2

13

，0），P₂（-2

13

，0）；
②若OA=AP，
过点A作AM⊥x轴于点M，则PM=OM=6，
∴P₃（12，0）；
③若OP=AP，过点P作PN⊥OA于点N，
则ON=AN=

1

2

OA=

13

，
∵∠ONP=∠OMA，∠PON=∠AOM，
∴△OPN∽△OAM，
∴

OP

OA

=

ON

OM

，
∴

OP

2 13

=

13

6

，
解得：OP=

13

3

，
∴P₄（

13

3

，0）；
综上所述：点P₁（2

13

，0），P₂（-2

13

，0），P₃（12，0），P₄（

13

3

，0）．

点评：此题属于一次函数的综合题，考查了待定系数法求一次函数的解析式、相似三角形的判定与性质、勾股定理以及三角函数等知识．此题综合性较强，难度较大，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用．