Question

如图，Rt△ABC中，∠C=90°，⊙O内切于Rt△ABC，AC边切⊙O于点D，若AC=4，BC=3，则tan∠CAO的值为（　　）

• A、

  1

  3

• B、

  1

  2

• C、

  3

  4

• D、

  2

  2

Answer 1

考点：三角形的内切圆与内心

专题：

分析：根据直角三角形内切圆的性质得出内切圆半径，再利用正方形的判定得出四边形ODCE是正方形，进而得出tan∠CAO的值为：

OD

AD

=

1

3

．

解答：解：设BC切⊙O于点E，连接OE，设⊙O的半径是r，
由勾股定理得：AB=

AC2+BC2

=5，
∵⊙O是三角形ABC的内切圆，
∴r=

3+4-5

2

=1，
即OD=1，
∵⊙O内切于Rt△ABC，AC边切⊙O于点D，BC切⊙O于点E，
∴OE⊥BC，OD⊥AC，
∵∠C=90°，
∴四边形ODCE是矩形，
∵OE=OD，
∴四边形ODCE是正方形，
∴AD=AC-CD=4-1=3，
则tan∠CAO的值为：

OD

AD

=

1

3

．
故选：A．

点评：此题主要考查了直角三角形内切圆半径求法以及正方形的判定，根据已知得出AD以及DO的长是解题关键．