Question

3．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x²+bx+c经过点A（0，-3），B（4，5）．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）如果此抛物线的顶点为C，求点C的坐标；
（3）设点C向左平移2个单位长度后的点为D，此抛物线在A，B两点之间的部分为图象W（包含A，B两点），经过点D的直线为l：y=mx+n．如果直线l与图象W有且只有一个公共点，结合函数图象，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）直接待定系数法列出b和c得二元一次方程组，求出b和c得值即可；
（2）抛物线的一般解析式化为顶点坐标式，进而求出顶点坐标；
（3）分别求出直线l经过D和点C时、D和点A时，D和点B时m得值，综合得到m得取值范围．

解答 解：（1）点A、B在抛物线y=x²+bx+c上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-3=c}\\{5=16+4b+c}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=x²-2x-3；
（2）∵y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴抛物线的顶点C的坐标为（1，-4）；
（3）∵点C（1，-4），
∴点D（-1，-4），
当直线l经过点D和点C时，m=0，
当直线经过点D和点A时，
由题意得$\left\{\begin{array}{l}{-m+n=-4}\\{n=-3}\end{array}\right.$，
解得m=1，
当直线经过点D和点B时，点D（-1，-4），B（4，5），
由题意得$\left\{\begin{array}{l}{-m+n=-4}\\{4m+n=5}\end{array}\right.$，
解得m=$\frac{9}{5}$，
综上所述，m得取值范围是m=0，1＜m≤$\frac{9}{5}$．

点评 本题考查了二次函数图象与几何变换，待定系数法求一次函数、二次函数解析式．在求有关于平移的题目时，一定要数形结合，这样可以使抽象的问题变得具体化，降低了解题的难度与梯度．