Question

如图，P为正方形ABCD的边AD上的一个动点，AE⊥BP，CF⊥BP，垂足分别为点E、F，已知AD=5．
（1）试说明AE²+CF²的值是一个常数；
（2）过点P作PM∥FC交CD于点M，点P在何位置时，线段DM最长？并求出此时DM的值．
（3）在（2）的情况下，BC边上是否存在一点N，使△PMN的周长最短？若不存在说明理由；若存在，请确定点N距点B的距离．

Answer 1

考点：四边形综合题

专题：综合题

分析：（1）根据正方形的性质得AB=BC=AD=5，∠ABC=90°，再利用等角的余角相等得到∠ABE=∠BCF，于是可根据“AAS”判断△ABE≌△BCF，则CF=BE，在Rt△ABE中，根据勾股定理得AE²+BE²=AB²=5²，所以AE²+CF²=25；
（2）设AP=x，则PD=5-x，先证明Rt△PDM∽Rt△BAP，利用相似比得DM=-

1

5

x²+x，然后配方得DM=-

1

5

（x-

5

2

）²+

5

4

，所以当x=

5

2

时，DM最大，最大值为

5

4

；
（3）延长DC到Q使CQ=CM，连接PQ交BC于N，连接MN，如图1，MC=DC-DM=

15

4

，CQ=

15

4

，且△PMN的周长=PM+MN+PN，而PM为定值，所以MN+PN最小时，△PMN的周长最小，由于CQ=CM，NC⊥MQ，得到NC为MQ的中垂线，则NQ=NM，得到MN+PN=NQ+PN=PQ，此时MN+PN最小，△PMN的周长最小，再证明△QCN∽△QDP，利用相似比计算出NC=

15

14

，然后利用BN=BC-CN求解．

解答：解：（1）∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC=AD=5，∠ABC=90°，
∵AE⊥BP，CF⊥BP，
∴∠AEB=∠CFB=90°，
∴∠ABE=∠BCF，
在△ABE和△BCF中

∠AEB=∠BFC ∠ABE=∠BCF AB=BC

，
∴△ABE≌△BCF（AAS），
∴CF=BE，
在Rt△ABE中，
∵AE²+BE²=AB²=5²，
∴AE²+CF²=25，即AE²+CF²的值是一个常数；
（2）设AP=x，则PD=5-x，
∵PM∥FC，
∴PM⊥BP，
∴∠APB+∠DPM=90°，
而∠APB+∠ABP=90°，
∴Rt△PDM∽Rt△BAP，
∴

DM

AP

=

PD

AB

，即

DM

x

=

5-x

5

，
∴DM=-

1

5

x²+x=-

1

5

（x-

5

2

）²+

5

4

，
∵-

1

5

（x-

5

2

）²≤0，
∴当x=

5

2

时，DM最大，最大值为

5

4

，
即点P在AD的中点位置时，线段DM最长，此时DM的值为

5

4

；
（3）存在．
延长DC到Q使CQ=CM，连接PQ交BC于N，连接MN，如图1，
PD=

5

2

，DM=

5

4

，MC=DC-DM=

15

4

，则CQ=

15

4

△PMN的周长=PM+MN+PN，而PM为定值，则MN+PN最小时，△PMN的周长最小，
∵CQ=CM，NC⊥MQ，
∴NC为MQ的中垂线，
∴NQ=NM，
∴MN+PN=NQ+PN=PQ，此时MN+PN最小，△PMN的周长最小，
∵NC∥PD，
∴△QCN∽△QDP，
∴

NC

PD

=

QC

QD

，即

NC

5 2

=

15 4

5+ 15 4

，
解得NC=

15

14

，
∴BN=BC-CN=5-

15

14

=

55

14

．

点评：本题考查了四边形的综合题：熟练掌握正方形的性质、三角形全等的判定与性质和轴对称的性质；会利用勾股定理和相似比进行几何计算；会运用两点之间线段最短和二次函数的性质数学问题的最值问题．