Question

如图（1），Rt△ABC中，AB=BC，点D在AC上，DE⊥AC交AB于点E，点M为CE的中点．

（1）求证：△MBD是等腰三角形；
（2）将△DEA绕点A逆时针旋转，使点D落在AB上，如图（2）中的“△MBD为等腰直角三角形”仍然成立吗？请说明理由．

Answer 1

（1）证明：∵ED⊥AC，

∴∠EDC=90°，

∵点M为CE的中点，

∴DM=EC，
∵∠ABC=90°，

∴BM=EC，

∴DM=BM，

∴△MBD是等腰三角形；


（2）解：△MBD为等腰直角三角形．理由如下：

延长DM交BC于H，如图，
∵DE⊥AB，BC⊥AB，

∴DE∥BC，

∴∠MED=∠MCH，

在△MHC和△MDE中

，

∴△MHC≌△MDE（AAS），

∴CH=DE，MD=MH，

∵△ADE为等腰直角三角形，

∴DE=AD，

∴AD=CH，
而BA=BC，

∴BD=BH，

∴MB为等腰直角△BDH斜边上的中线，
∴MB=MD=MH，

∴△MBD为等腰直角三角形．
分析：（1）根据题意得到DM、BM分别为Rt△EDC、Rt△BEC斜边上的中线，则DM=EC，BM=EC，所以DM=BM；
（2）延长DM交BC于H，由于DE⊥AB，BC⊥AB，则DE∥BC，所以∠MED=∠MCH，根据“AAS”可判断△MHC≌△MDE，则CH=DE，MD=MH，利用DE=AD得到AD=CH，于是MB为等腰直角△BDH斜边上的中线，所以MB=MD=MH．
点评：本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．也考查了等腰三角形的性质．也考查了等腰直角三角形的性质以及直角三角形斜边上的中线性质．