Question

3．如图，直线l₁的解析式为y=-3x+3，且l₁与x轴交于点D，直线l₂经过点A、B，直线l₁、l₂交于点C．
（1）求直线l₂的解析表达式；
（2）求△ADC的面积；
（3）在直线l₂上存在异于点C的另一点P，使得△ADP与△ADC的面积相等，请求出点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）由点A、B的坐标利用待定系数法即可求出直线l₂的解析表达式；
（2）根据一次函数图象上点的坐标特征找出点D的坐标，联立直线AB、CD的表达式求出交点C的坐标，再根据三角形的面积公式即可求出△ADC的面积；
（3）由同底等高的三角形面积相等即可找出点P的纵坐标，再根据一次函数图象上点的坐标特征即可得出点P的坐标．

解答 解：（1）设直线l₂的解析表达式为y=kx+b（k≠0），
把A（4，0）、B（3，$-\frac{3}{2}$）代入表达式y=kx+b，
$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=0}\\{3k+b=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{3}{2}}\\{b=-6}\end{array}\right.$，
∴直线l₂的解析表达式为y=$\frac{3}{2}$x-6．

（2）当y=-3x+3=0时，x=1，
∴D（1，0）．
联立y=-3x+3和y=$\frac{3}{2}$x-6，
解得：x=2，y=-3，
∴C（2，-3），
∴S_△ADC=$\frac{1}{2}$×3×|-3|=$\frac{9}{2}$．

（3）∵△ADP与△ADC底边都是AD，△ADP与△ADC的面积相等，
∴两三角形高相等．
∵C（2，-3），
∴点P的纵坐标为3．
当y=$\frac{3}{2}$x-6=3时，x=6，
∴点P的坐标为（6，3）．

点评 本题考查了两条直线相交或平行问题、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，解题的关键是：（1）根据点A、B的坐标利用待定系数法求出直线l₂的解析表达式；（2）联立两直线表达式求出交点C的坐标；（3）根据同底等高的三角形面积相等找出点P的纵坐标．