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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（-1，0）、B（3，0）和C（0，-3），线段BC与抛物线的对称轴相交于点P．M、N分别是线段OC和x轴上的动点，运动时保持∠MPN=90°不变．连结MN，设MC=m．
    （1）求抛物线的函数解析式；
    （2）用含m的代数式表示△PMN的面积S，并求S的最大值；
    （3）以PM、PN为一组邻边作矩形PMDN，当此矩形全部落在抛物线与x轴围成的封闭区域内（含边界）时，求m的取值范围．

    【答案】分析：（1）将A、B、C三点坐标代入抛物线解析式，可得出a、b、c的值，继而得出抛物线解析式；
    （2）作PE⊥y轴于点E，设抛物线的对称轴与x轴相交于点F，先求出直线BC解析式，确定点P的坐标，在Rt△PME中表示出PM，证明△MPE∽△NPF，利用对应边成比例得出PN的表达式，继而可得出S关于m的表达式，再由m的取值范围，可得出S的最大值；
    （3）找到两个极值点，①点D在x轴上，此时很容易得出m=1；②点D在抛物线上，作DG⊥x轴于点G，证明△MPE≌△DNG，得出DG=ME=1-m，NG=PE=1，由（2），得出NF=2ME=2-2m，则可得到OG=1-ON=NF=2-2m，得出点D的坐标，代入抛物线解析式得出m的值，综合起来可得出m的取值范围．
    解答：解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A（-1，0）、B（3，0）和C（0，-3），
    ∴，
    解得：，
    ∴抛物线的解析式是y=x2-2x-3；

    （2）作PE⊥y轴于点E，设抛物线的对称轴与x轴相交于点F，
    易得抛物线的对称轴为直线x=1，直线BC的解析式为y=x-3，
    ∴P（1，-2），
    ∴E（0，-2），ME=|m-1|，
    ∴，
    ∵∠MPN=90°，∠EPF=90°，
    ∴∠MPE=∠NPF，
    又∵∠PEM=∠PFN=90°，
    ∴△MPE∽△NPF，
    ∴，
    ∴PN=2PM，
    ∴，
    ∵0≤m≤3，
    ∴当m=3时，S有最大值，最大值是5；

    （3）①当点D在x轴上时，点D、M显然分别与点O、E重合，
    此时，m=1；
    ②当点D在抛物线上时（如图2），作DG⊥x轴于点G，
    ∠MPE+∠NPE=90°，∠NPE+∠NPF=90°，
    ∴∠MPE=∠NPF，
    又∵∠DNG+∠PNF=90°，∠NPF+∠PNF=90°，
    ∴∠DNG=∠NPF，
    ∴∠MPE=∠DNG，
    在△MPE和△DNG中，
    ，
    ∴△MPE≌△DNG（AAS），
    ∴DG=ME=1-m，NG=PE=1，
    由（2）得：，故NF=2ME=2-2m，
    ∴OG=1-ON=NF=2-2m，
    ∴D（2m-2，m-1），
    代入抛物线解析式得：m-1=（2m-2）2-2（2m-2）-3，
    整理得：4m2-13m+6=0，
    解得：，（不合题意，舍去），
    ∴时，点D恰好在抛物线上，
    ∴当时，此矩形全部落在抛物线与x轴围成的封闭区域内．
    点评：本题是二次函数的综合题型，涉及了待定系数法求二次函数解析式、动点问题、根据边界点确定动取值范围，解答本题需要一定的耐心及对基础知识的熟练掌握，同学们要注意培养自己解答综合题的能力，做到将所学知识点融会贯通．
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，已知抛物线与x轴交于A（-1，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点精英家教网C（0，3）．
    （1）求抛物线的解析式；
    （2）求直线BC的函数解析式；
    （3）在抛物线上，是否存在一点P，使△PAB的面积等于△ABC的面积，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
    （4）点Q是直线BC上的一个动点，若△QOB为等腰三角形，请写出此时点Q的坐标．（可直接写出结果）

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    如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x=1，且抛物线经过A（-1，0）精英家教网、C（0，-3）两点，与x轴交于另一点B．
    （1）求这条抛物线所对应的函数关系式；
    （2）在抛物线的对称轴x=1上求一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，并求出此时点M的坐标．

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    （2013•衡阳）如图，已知抛物线经过A（1，0），B（0，3）两点，对称轴是x=-1．
    （1）求抛物线对应的函数关系式；
    （2）动点Q从点O出发，以每秒1个单位长度的速度在线段OA上运动，同时动点M从O点出发以每秒3个单位长度的速度在线段OB上运动，过点Q作x轴的垂线交线段AB于点N，交抛物线于点P，设运动的时间为t秒．
    ①当t为何值时，四边形OMPQ为矩形；
    ②△AON能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，且抛物线经过A（-1，0）、C（0，-3）两点，与x轴交于另一点B．
    （1）求这条抛物线所对应的函数关系式；
    （2）点P是抛物线对称轴上一点，若△PAB∽△OBC，求点P的坐标．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点是（-1，-4），且与x轴交于A、B（1，0）两点，交y轴于点C；
    （1）求此抛物线的解析式；
    （2）①当x的取值范围满足条件
    -2＜x＜0
    -2＜x＜0
    时，y＜-3；
         ②若D（m，y1），E（2，y2）是抛物线上两点，且y1＞y2，求实数m的取值范围；
    （3）直线x=t平行于y轴，分别交线段AC于点M、交抛物线于点N，求线段MN的长度的最大值；
    （4）若以抛物线上的点P为圆心作圆与x轴相切时，正好也与y轴相切，求点P的坐标．

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