Question

4．如图，抛物线y=ax²+bx-a-b（a＜0，a、b为常数）与x轴交于A、C两点，与y轴交于B点，直线AB的函数关系式为y=$\frac{8}{9}$x+$\frac{16}{3}$．
（1）求该抛物线的函数关系式与C点坐标；
（2）已知点M（m，0）是线段OA上的一个动点，过点M作x轴的垂线l分别与直线AB和抛物线交于D、E两点，当m为何值时，△BDE恰好是以DE为底边的等腰三角形？
（3）在（2）问条件下，当△BDE恰好是以DE为底边的等腰三角形时，动点M相应位置记为点M′，将OM′绕原点O顺时针旋转得到ON（旋转角在0°到90°之间）；
i．探究：线段OB上是否存在定点P（P不与O、B重合），无论ON如何旋转，$\frac{NP}{NB}$始终保持不变．若存在，试求出P点坐标；若不存在，请说明理由；
ii．试求出此旋转过程中，（NA+$\frac{3}{4}$NB）的最小值．

Answer 1

分析 （1）根据已知条件得到B（0，$\frac{16}{3}$），A（-6，0），解方程组得到抛物线的函数关系式为：y=-$\frac{8}{9}$x²-$\frac{40}{9}$x+$\frac{16}{3}$，于是得到C（1，0）；
（2）由点M（m，0），过点M作x轴的垂线l分别与直线AB和抛物线交于D、E两点，得到D（m，$\frac{8}{9}$m+$\frac{16}{3}$），当DE为底时，作BG⊥DE于G，根据等腰三角形的性质得到EG=GD=$\frac{1}{2}$ED，GM=OB=$\frac{16}{3}$，列方程即可得到结论；
（3）i：根据已知条件得到ON=OM′=4，OB=$\frac{16}{3}$，由∠NOP=∠BON，特殊的当△NOP∽△BON时，根据相似三角形的性质得到$\frac{OP}{ON}=\frac{NP}{NB}=\frac{ON}{OB}$=$\frac{3}{4}$，于是得到结论；
ii：根据题意得到N在以O为圆心，4为半径的半圆上，由（i）知，$\frac{NP}{NB}=\frac{OP}{ON}$=$\frac{3}{4}$，得到NP=$\frac{3}{4}$NB，于是得到（NA+$\frac{3}{4}$NB）的最小值=NA+NP，此时N，A，P三点共线，根据勾股定理得到结论．

解答 解：（1）在y=$\frac{8}{9}$x+$\frac{16}{3}$中，令x=0，则y=$\frac{16}{3}$，令y=0，则x=-6，
∴B（0，$\frac{16}{3}$），A（-6，0），
把B（0，$\frac{16}{3}$），A（-6，0）代入y=ax²+bx-a-b得$\left\{\begin{array}{l}{36a-6b-a-b=0}\\{-a-b=\frac{16}{3}}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{8}{9}}\\{b=-\frac{40}{9}}\end{array}\right.$，
∴抛物线的函数关系式为：y=-$\frac{8}{9}$x²-$\frac{40}{9}$x+$\frac{16}{3}$，
令y=0，则=-$\frac{8}{9}$x²-$\frac{40}{9}$x+$\frac{16}{3}$=0，
∴x₁=-6，x₂=1，
∴C（1，0）；
（2）∵点M（m，0），过点M作x轴的垂线l分别与直线AB和抛物线交于D、E两点，
∴D（m，$\frac{8}{9}$m+$\frac{16}{3}$），当DE为底时，
作BG⊥DE于G，则EG=GD=$\frac{1}{2}$ED，GM=OB=$\frac{16}{3}$，
∵DM+DG=GM=OB，
∴$\frac{8}{9}$m+$\frac{16}{3}$$+\frac{1}{2}$（-$\frac{8}{9}$m²-$\frac{40}{9}$m+$\frac{16}{3}$-$\frac{8}{9}$m-$\frac{16}{3}$）=$\frac{16}{3}$，
解得：m₁=-4，m₂=0（不合题意，舍去），
∴当m=-4时，△BDE恰好是以DE为底边的等腰三角形；
（3）i：存在，
∵ON=OM′=4，OB=$\frac{16}{3}$，
∵∠NOP=∠BON，
∴当△NOP∽△BON时，$\frac{OP}{ON}=\frac{NP}{NB}=\frac{ON}{OB}$=$\frac{3}{4}$，
∴$\frac{NP}{NB}$不变，
即OP=$\frac{3}{4}$ON=$\frac{3}{4}$×4=3，
∴P（0，3）
ii：∵N在以O为圆心，4为半径的半圆上，由（i）知，$\frac{NP}{NB}=\frac{OP}{ON}$=$\frac{3}{4}$，
∴NP=$\frac{3}{4}$NB，
∴（NA+$\frac{3}{4}$NB）的最小值=NA+NP，
∴此时N，A，P三点共线，
∴（NA+$\frac{3}{4}$NB）的最小值=$\sqrt{{3}^{2}+{6}^{2}}$=3$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了待定系数法求函数的解析式，等腰三角形的性质，相似三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．