Question

在矩形ABCD中，AB=4cm，AD=10cm．点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AD向终点D运动，连接PC，作PE⊥PC交射线AB于点E．
（1）△AEP与△PDC相似吗？为什么？
（2）当∠CPD=30°时，求AE的长．
（3）在点P运动多少秒时，△PDC的面积是△AEP面积的4倍？

Answer 1

解：（1）△AEP与△PDC相似．理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°，
又∵PE⊥PC，
∴∠APE=∠DCP=90°-∠CPD．
在△AEP与△DPC中，
，
∴△AEP∽△DPC（AA）；

（2）在△CPD中，∵∠D=90°，∠CPD=30°，CD=4cm，
∴CP=2CD=8cm，PD=CD=4cm，
∴AP=AD-PD=（10-4）cm．
∵△AEP∽△DPC，
∴=，=，
∴AE=10-12．
故AE的长为（10-12）cm；

（3）∵△AEP∽△DPC，
∴=（）²．
设点P运动t秒时，△PDC的面积是△AEP面积的4倍，则（）²=，
∴=，即=，
解得t=2．
故在点P运动2秒时，△PDC的面积是△AEP面积的4倍．
分析：（1）先由矩形的性质得出∠A=∠D=90°，再由PE⊥PC，根据同角的余角相等得到∠APE=∠DCP=90°-∠CPD，然后根据两角对应相等的两三角形相似即可得出△AEP∽△DPC；
（2）先解直角△CPD，得出CP=2CD=8cm，PD=CD=4cm，则AP=AD-PD=（10-4）cm，再由△AEP∽△DPC，根据相似三角形对应边成比例列出比例式=，即可求出AE的长；
（3）设点P运动t秒时，△PDC的面积是△AEP面积的4倍，根据相似三角形面积比等于相似比的平方得出=（）²=，则=，将数值代入，即可求出t的值．
点评：本题考查了矩形的性质，余角的性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，难度适中．证明出△AEP∽△DPC是解题的关键．