Question

如图，已知C是以AB为直径的半圆上的一点，AB=10，CD⊥AB于D点，以AD、DB为直径画两个半圆，EF是这两个半圆的外公切线，E、F为切点．
（1）求证：CD=EF；
（2）求证：四边形EDFC是矩形；
（3）若DB=|m|，则m是使关于x的方程x²+2（m-1）x+m²+3=0的两个实根的平方和为22的实数值，求矩形EDFC的面积．

Answer 1

（1）证明：取AD的中点O₁，BD的中点O₂，连接O₁E，O₂F，并过O₂作O₂H⊥O₁E，交O₁E于H．
∵EF是两圆的公切线，
∴O₁E⊥EF，O₂F⊥EF，
又∵O₂H⊥O₁E，
∴四边形EHO₂F是矩形
∴EF=O₂H
在Rt△O₁O₂H中，O₂H²=（AD+BD）²-（AD-BD）²=AD•BD
∵CD⊥AB
∴CD2=AD•BD
∴CD=O₂H=EF．

（2）证明：先设CD和EF交于点G，
∵EF，CD都是两圆的切线，
∴GD=GE=GF．
∴△EDF是直角三角形．
∴∠EDF=90°．
又∵DE=ED，∠FED=∠CDE，CD=FE，
∴△EDF≌△DEC．
∴∠DEC=90°．
同理∠DFC=90°．
∴四边形EDFC是矩形．

（3）解：设x₁，x₂是方程的两个实数根，
根据题意得，
还能得到，x₁²+x₂²=22，三个式子联合，
解得，m₁=-2，m₂=6
根据图形可知，0＜DB＜5
DB=|-2|=2，
AD=8．
∵四边形EDFC是矩形，
∴C、F、B在同一直线上，同样C、E、A也在同一直线上．
∴DF∥AC．
∴．
由（1）知，CD²=AD•BD=16，
∴CD=4．
在Rt△CDB中，BC==2，
∴DE=×BC=．
同理可得，DF=．
∴S_矩形EDFC=CF•DF=×=．
分析：（1）利用垂径定理和两圆外公切线的性质，作辅助线，就可以得到两条线段的相等关系．
（2）关键是先判断△EDF是直角三角形，再利用三角形的全等，可得出另外两个90°的角，因此得证．
（3）先利用根与系数的关系，可求出DB，从而求出AD，再利用勾股定理求出AC，BC的值，再通过平行线分线段成比例性质可求出DF，DE．那么矩形面积就可求了．
点评：本题利用了外切两圆的公切线的性质，以及矩形的判定和性质，还有直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，根与系数的关系，勾股定理，平行线分线段成比例性质以及矩形面积公式等知识．