Question

已知开口向上的抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于A（x₁，0）和B（x₂，0）两点，x_l和x₂是方程x²+2x-3=0的两个根（x₁＜x₂），而且抛物线与y轴交于C点，∠ACB不小于90°
（1）求点A、点B的坐标和抛物线的对称轴；
（2）求点C的坐标（用含a的代数式表示）；
（3）求系数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）通过解方程即可求出A，B两点的坐标，根据两点的坐标即可得出抛物线的对称轴．
（2）将A、B两点的坐标代入抛物线的解析式中，即可消去b得出C点的坐标．
（3）由于∠ACB不小于90°，可先在∠ACB=90°时，用射影定理求出a的值，然后根据抛物线的二次项系数|a|的值越大开口越小，来得出a的取值范围．

解答：解：（1）解方程x²+2x-3=0，得x=-3，x=1
∴A（-3，0），B（1，0）；
∴对称轴为x=-1

（2）把x=0代入抛物线，得y=c．
∴点C的坐标为（0，c）
∵A、B在抛物线上
∴

9a-3b+c=0 a+b+c=0

消去b，得c=-3a
∴C（0，-3a）

（3）∵抛物线开口向上
∴a＞0
∴OC=|-3a|=3a
又∵∠ACB不小于90°
∴∠ACB≥90°
若∠ACB=90°，△BOC∽△COA
∴OC²=OA•OB=3×1=3
∴OC=

3

∴3a=

3

，a=

3

3

．
∴a的取值范围是0＜a≤

3

3

．

点评：考查一元二次方程的解法，函数图象交点、二次函数的性质等知识及综合应用知识、解决问题的能力．