Question

如图，正方形ABCD的边长为4，E为CD的中点，F为AD边上一点，且不与点D重合，AF=a，
（1）判断四边形BCEF的面积是否存在最大或者最小值？若存在，求出来；若不存在，说明理由；
（2）若∠BFE=∠FBC，求tan∠AFB的值；
（3）在（2）的条件下，若将“E是CD的中点”改为“CE=k•DE”，其中k为正整数，其他条件不变，请直接写出tan∠AFB的值（用k的代数式表示）．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于S_{四边形BCEF}=S_{正方形ABCD}-S_△ABF-S_△DEF，用含a的代数式表示S_{四边形BCEF}=12-a，而0≤a＜4，即S_{四边形BCEF}存在最大值12，S_{四边形BCEF}不存在最小值；
（2）延长BC，FE交于点P，构造等腰三角形PEB，利用正方形的性质和中点的性质求得PB的长后，由勾股定理求得a的值．则可求出AB，AF的值．再用tan∠AFB=；求得tan∠AFB的值；
（3）用（2）的方法求得tan∠AFB的值．
解答：解：（1）如图，连接BE，
S_{四边形BCEF}=S_{正方形ABCD}-S_△ABF-S_△DEF=4²-×4×a-×2×（4-a）=12-a，
∵F为AD边上一点，且不与点D重合，
∴0≤a＜4，
∴当点F与点A重合时，a=0，S_{四边形BCEF}存在最大值12．
S_{四边形BCEF}不存在最小值．

（2）如图，延长BC，FE交于点P，
∵正方形ABCD，
∴AD∥BC．
∴△DEF∽△CEP．
∵E为CD的中点，
∴==1，PF=2EF．
∵∠BFE=∠FBC，
∴PB=PF．
∵AF=a，
∴PC=DF=4-a，PB=PF=8-a，
EF==．
∵Rt△DEF中，EF²=DE²+DF²，
∴=2²+（4-a）²整理，得3a²-16a+16=0，
解得，a₁=，a₂=4；
∵F点不与D点重合，
∴a=4不成立，a=，tan∠AFB==3．

（3）延长BC，FE交于点P，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，
∴△DEF∽△CEP．
∵CE=k•DE，
∴==，PF=（k+1）EF．
∵∠BFE=∠FBC，
∴PB=PF，
∵AF=a，
∴PC=（4-a）k，PB=PF=4+（4-a）k．
EF==．
∵Rt△DEF中，EF²=DE²+DF²，
∴（）²=（）²+（4-a）²整理，
×=（4-a）²，
（k+1）²=，
解得a=，
∴tan∠AFB==2k+1（k为正数）．
点评：本题利用了正方形的性质，中点的性质，等腰三角形的性质，三角形的面积公式，勾股定理求解．