Question

【题目】如图，点B、C、D都在⊙O上，过C点作CA∥BD交OD的延长线于点A，连接BC，∠B=∠A=30°，BD=2 ．

（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）求由线段AC、AD与弧CD所围成的阴影部分的面积．（结果保留π）

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接OC，交BD于E，

∵∠B=30°，∠B= ∠COD，

∴∠COD=60°，

∵∠A=30°，

∴∠OCA=90°，

即OC⊥AC，

∴AC是⊙O的切线；

（2）解：∵AC∥BD，∠OCA=90°，

∴∠OED=∠OCA=90°，

∴DE= BD= ，

∵sin∠COD= ，

∴OD=2，

在Rt△ACO中，tan∠COA= ，

∴AC=2 ，

∴S阴影= ×2×2 ﹣ =2 ﹣ ．

【解析】（1）连接OC，根据圆周角定理求出∠COA，根据三角形内角和定理求出∠OCA，根据切线的判定推出即可；（2）求出DE，解直角三角形求出OC，分别求出△ACO的面积和扇形COD的面积，即可得出答案．