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(1999•河北)如图,正方形OABC的顶点O在坐标原点,且OA和AB边所在的直线的解析式分别为:y=x和y=-x+.D、E分别为边OC和AB的中点,P为OA边上一动点(点P与点O不重合),连接DE和CP,其交点为Q.
(1)求证:点Q为△COP的外心;
(2)求正方形OABC的边长;
(3)当⊙Q与AB相切时,求点P的坐标.


【答案】分析:(1)要证点Q为△COP的外心,需证QC=QP=QO,而△COP中,DQ为中位线,则即可得证;
(2)由OA和AB边的解析式求出A点坐标,由两点之间坐标公式求出OA的长,即正方形边长;
(3)当⊙Q与AB相切时,作出⊙Q,由切线和割线的关系,求出P点坐标.
解答:(1)证明:∵D、E分别为正方形OABC中OC、AB的中点,
∴DE∥OA.
∴Q也是CP的中点.
又∵CP是Rt△COP的斜边,
∴点Q为△COP的外心.

(2)解:由方程组
解得
∴点A的坐标为().
过点A作AF⊥Ox轴,垂足为点F.
∴OF=,AF=
由勾股定理,得OA==
∴正方形OABC的边长为

(3)解:如图,当△COP的外接圆⊙Q与AB相切时,
∵圆心Q在直线DE上,DE⊥AB,
∴E为⊙Q与AB相切的切点.
又∵AE和APO分别是⊙Q的切线与割线,
∴AE2=AP•AO.
∵OA=,AE=OA,
∴AP=OA=
∴当⊙Q与AB相切时,OP=-=
作PH⊥Ox轴,垂足为H.
∵PH∥AF,∴
∴OH==
PH==
∴点P的坐标为().
点评:本题考查的问题较为复杂,是一次函数和几何知识相结合的问题,同学们要注意几何知识的熟练掌握.
练习册系列答案
相关习题

科目:初中数学 来源:1999年全国中考数学试题汇编《二次函数》(02)(解析版) 题型:解答题

(1999•河北)如图,这是某市一处十字路口立交桥的横断面在平面直角坐标系中的示意图,横断面的地平线为x轴,横断面的对称轴为y轴.桥拱的DGD′部分为一段抛物线,顶点G的高度为8米,AD和A′D′的两侧高为5.5米的支柱,OA和OA′为两个方向的汽车通行区,宽都为15米,线段CD和C′D′为两段对称的上桥斜坡,其坡度为1:4.
(1)求桥拱DGD′所在抛物线的解析式及CC′的长;
(2)BE和B′E′为支撑斜坡的立柱,其高都为4米,相应的AB和A′B′为两个方向的行人及非机动车通行区.试求AB和A′B′的宽;
(3)按规定,汽车通过该桥下时,载货最高处和桥拱之间的距离不得小于0.4米.今有一大型运货汽车,装载某大型设备后,其宽为4米,车载大型设备的顶部与地面的距离均为7米.它能否从OA(或OA′)区域安全通过?请说明理由.

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科目:初中数学 来源:1999年河北省中考数学试卷 题型:解答题

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(1)求证:点Q为△COP的外心;
(2)求正方形OABC的边长;
(3)当⊙Q与AB相切时,求点P的坐标.

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科目:初中数学 来源:1999年河北省中考数学试卷 题型:解答题

(1999•河北)如图,这是某市一处十字路口立交桥的横断面在平面直角坐标系中的示意图,横断面的地平线为x轴,横断面的对称轴为y轴.桥拱的DGD′部分为一段抛物线,顶点G的高度为8米,AD和A′D′的两侧高为5.5米的支柱,OA和OA′为两个方向的汽车通行区,宽都为15米,线段CD和C′D′为两段对称的上桥斜坡,其坡度为1:4.
(1)求桥拱DGD′所在抛物线的解析式及CC′的长;
(2)BE和B′E′为支撑斜坡的立柱,其高都为4米,相应的AB和A′B′为两个方向的行人及非机动车通行区.试求AB和A′B′的宽;
(3)按规定,汽车通过该桥下时,载货最高处和桥拱之间的距离不得小于0.4米.今有一大型运货汽车,装载某大型设备后,其宽为4米,车载大型设备的顶部与地面的距离均为7米.它能否从OA(或OA′)区域安全通过?请说明理由.

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科目:初中数学 来源:1999年河北省中考数学试卷 题型:填空题

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