Question

将一矩形纸片OABC放在平面直角坐标系中，O（0，0），A（6，0），C（0，3）．动点Q从点O出发以每秒1个单位长的速度沿OC向终点C运动，运动秒时，动点P从点A出发以相等的速度沿AO向终点O运动．当其中一点到达终点时，另一点也停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．
（1）用含t的代数式表示OP，OQ；
（2）当t=1时，如图1，将沿△OPQ沿PQ翻折，点O恰好落在CB边上的点D处，求点D的坐标；
（3）连接AC，将△OPQ沿PQ翻折，得到△EPQ，如图2．问：PQ与AC能否平行？PE与AC能否垂直？若能，求出相应的t值；若不能，说明理由．

Answer 1

解：（1）OP=6-t，OQ=t+．


（2）当t=1时，过D点作DD₁⊥OA，交OA于D₁，如图1，
则DQ=QO=，QC=，
∴CD=1，
∴D（1，3）．

（3）①PQ能与AC平行．
若PQ∥AC，如图2，则，
即，
∴，而，
∴．
②PE不能与AC垂直．
若PE⊥AC，延长QE交OA于F，如图3，
则=，
=，
∴．
∴EF=QF-QE=QF-OQ===（-1）（t+），
又∵Rt△EPF∽Rt△OCA，
∴，
∴，
∴t≈3.45，而，
∴t不存在．
分析：（1）点Q运动的时间比点P多秒，则运动的路程也多出了．
（2）利用翻折得到的线段长，再利用勾股定理可求得点D的横坐标，纵坐标和点C的纵坐标相等．
（3）当平行的时候，所截得的线段对应成比例，即可求得时间值．当垂直的时候也要找到一组平行线，得到对应线段成比例看是否在相应的范围内．
点评：注意使用翻折得到的对应线段相等；当两条直线平行的时候，所截得的对应线段是成比例的．