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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在精英家教网两坐标轴上，且点A（0，2），点C（-1，0），如图所示；抛物线y=ax2+ax-2经过点B．
    （1）求点B的坐标和抛物线的解析式；
    （2）△ABC绕AC的中点旋转180°得到△ABC，试判断点B是否在抛物线上，请说明理由；
    （3）点G是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点P，使A、C、P、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由．
    分析：（1）过B作x轴的垂线，设垂足为D，通过证三角形BDC和三角形COA全等来求出B点的坐标；得出B点坐标后，将其代入抛物线的解析式中即可求出a的值，也就确定了抛物线的解析式；
    （2）根据（1）求得的B点坐标可知，B点正好和AC的中点的纵坐标相同，因此三角形绕AC中点，选择180°后，B′的纵坐标不变，由此可求出B′坐标为（2，1）．将其代入抛物线的解析式中即可判定出旋转后B点是否在抛物线上；
    （3）本题符合条件的P点较多：
    可将A点的纵坐标代入抛物线的解析式中，可求出两个Q点的坐标，即可得出AQ的长，然后将C点坐标向左或向右平移AQ个单位，可得出4个符合条件的P点的坐标；取A点关于x轴的对称点A′，将其纵坐标代入抛物线的解析式中，可得出两个符合条件的Q点坐标，然后根据直线AC的斜率求出直线PQ的解析式，即可得出P点的坐标，这种情况可得出2个符合条件的P点坐标，综上所述应该有6个符合条件的P点坐标．
    解答：解：（1）过点B作BD⊥x轴，垂足为D，
    ∵∠BCD+∠ACO=90°，∠ACO+∠OAC=90°；
    ∴∠BCD=∠CAO；
    又∵∠BDC=∠COA=90°；CB=AC，
    ∴△BCD≌△CAO，
    ∴BD=OC=1，CD=OA=2；
    ∴点B的坐标为（-3，1）；
    ∵抛物线y=ax2+ax-2经过点B（-3，1），则得到1=9a-3a-2，
    解得a=
    1
    2
    ，
    所以抛物线解析式为y=
    1
    2
    x2+
    1
    2
    x-2；

    （2）B（2，1）
    经检验点B（2，1）在抛物线y=
    1
    2
    x2+
    1
    2
    x-2．

    （3）P1（
    -1+
    		33
    2
    ，0），P2（
    -1-
    		33
    2
    ，0），P3（
    -3+
    		33
    2
    ，0），P4（
    -3-
    		33
    2
    ，0），P5（0，0），P6（1，0）
    点评：本题考查了等腰直角三角形的性质、二次函数解析式的确定、图形的旋转、函数图象交点、平行四边形的判定等知识，要注意的是（3）题中要将所有可能的条件都考虑到，不要漏解．
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    28、在平面直角坐标系中，点P到x轴的距离为8，到y轴的距离为6，且点P在第二象限，则点P坐标为
    （-6，8）
    ．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    10、在平面直角坐标系中，点P1（a，-3）与点P2（4，b）关于y轴对称，则a+b=
    -7
    ．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    在平面直角坐标系中，有A（2，3）、B（3，2）两点．
    （1）请再添加一点C，求出图象经过A、B、C三点的函数关系式．
    （2）反思第（1）小问，考虑有没有更简捷的解题策略？请说出你的理由．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，在平面直角坐标系中，开口向下的抛物线与x轴交于A、B两点，D是抛物线的顶点，O为精英家教网坐标原点．A、B两点的横坐标分别是方程x2-4x-12=0的两根，且cos∠DAB=
    		2
    2
    ．
    （1）求抛物线的函数解析式；
    （2）作AC⊥AD，AC交抛物线于点C，求点C的坐标及直线AC的函数解析式；
    （3）在（2）的条件下，在x轴上方的抛物线上是否存在一点P，使△APC的面积最大？如果存在，请求出点P的坐标和△APC的最大面积；如果不存在，请说明理由．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    18、在平面直角坐标系中，把一个图形先绕着原点顺时针旋转的角度为θ，再以原点为位似中心，相似比为k得到一个新的图形，我们把这个过程记为【θ，k】变换．例如，把图中的△ABC先绕着原点O顺时针旋转的角度为90°，再以原点为位似中心，相似比为2得到一个新的图形△A1B1C1，可以把这个过程记为【90°，2】变换．
    （1）在图中画出所有符合要求的△A1B1C1；
    （2）若△OMN的顶点坐标分别为O（0，0）、M（2，4）、N（6，2），把△OMN经过【θ，k】变换后得到△O′M′N′，若点M的对应点M′的坐标为（-1，-2），则θ=
    0°（或360°的整数倍）
    ，k=
    2
    ．

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