Question

18．如图，△OPQ是面积为4$\sqrt{3}$的等边三角形，若反比例函数的图象过点P．
（1）求等边三角形边长；
（2）求点P坐标及反比例函数解析式．

Answer 1

分析 （1）设等边三角形的边长为x，过点P作PD⊥OQ于点D，根据锐角三角函数的定义用x表示出PD的长，再由三角形的面积公式即可得出x的值；
（2）根据PD的长及等边三角形的性质求出OD的长，故可得出P点坐标，利用待定系数法即可得出反比例函数的解析式．

解答 解：（1）设等边三角形的边长为x，过点P作PD⊥OQ于点D，
∵OP=x，∠POD=60°，
∴PD=OP•sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x．
∵△OPQ是面积为4$\sqrt{3}$，
∴$\frac{1}{2}$x•$\frac{\sqrt{3}}{2}$x=4$\sqrt{3}$，解得x=4．
答：等边△OPQ的边长是4；

（2）∵由（1）知OQ=4，
∴OD=2，PD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×4=2$\sqrt{3}$，
∴P（2，2$\sqrt{3}$）．
设反比例函数的解析式为y=$\frac{k}{x}$，
∴k=xy=2×2$\sqrt{3}$=4$\sqrt{3}$，
∴反比例函数解析式为y=$\frac{4\sqrt{3}}{x}$．

点评 本题考查的是等边三角形的性质，熟知等边三角形三线合一的性质是解答此题的关键．