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    如图1，点A是△ABC和△ADE的公共顶点，∠BAC+∠DAE=180°，AB=k•AE，AC=k•AD，点M是DE的中点，直线AM交直线BC于点N．
    （1）探究∠ANB与∠BAE的关系，并加以证明．
    说明：如果你经过反复探索没解决问题，可以从下面①②中选取一个作为已知条件，再完成你的证明，选取①比选原题少得2分，选取②比选原题少得5分．
    ①如图2，k=1；②如图3，AB=AC．
    （2）若△ADE绕点A旋转，其他条件不变，则在旋转的过程中（1）的结论是否发生变化？如果没有发生变化，请写出一个可以推广的命题；如果有变化，请画出变化后的一个图形，并直接写出变化后∠ANB与∠BAE的关系．
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    分析：（1）根据已知条件构建平行四边形ADFE：延长AN到F，使MF=AM，连接DF、EF，由平行四边形的性质推出∠DAE+∠AEF=180°，再加上已知条件∠BAC+∠DAE=180°，不难知道∠BAC=∠AEF；而后根据已知线段间的比例关系，证明△ABC∽△EAF；最后利用相似三角形的性质来证明即可；
    （2）选取①时，解题原理同（2）；选取②时，先构建两个相似三角形△ABC与△AEF：如图，延长DA到F，使AF=AD，连接EF；然后证明两个三角形相似；最后由中位线的性质和相似三角形的性质来证明结论；
    解答：精英家教网解：（1）∠ANB+∠BAE=180°．（1分）
    证明：（法一）如图，延长AN到F，使MF=AM，连接DF、EF．（2分）
    ∵点M是DE的中点，∴DM=ME，∴四边形ADFE是平行四边形，（3分）
    ∴AD∥EF，AD=EF，∴∠DAE+∠AEF=180°，
    ∵∠BAC+∠DAE=180°，
    ∴∠BAC=∠AEF，（4分）
    ∵AB=kAE，AC=kAD，
    ∴
    AB
    AE
    =
    AC
    AD
    ，∴
    AB
    AE
    =
    AC
    EF
    ，（6分）
    ∴△ABC∽△EAF∴∠B=∠EAF，（8分）
    ∵∠ANB+∠B+∠BAF=180°，
    ∴∠ANB+∠EAF+∠BAF=180°，
    即∠ANB+∠BAE=180°；（10分）
    精英家教网（法二）如图，延长DA到F，使AF=AD，连接EF．（2分）
    ∵∠BAC+∠DAE=180°，∠DAE+∠EAF=180°，
    ∴∠BAC=∠EAF，（3分）∵AB=kAE，AC=kAD，
    ∴
    AB
    AE
    =
    AC
    AD
    ，∴
    AB
    AE
    =
    AC
    AF
    ，（4分）
    ∴△ABC∽△AEF，（5分）
    ∴∠B=∠AEF，（6分）
    ∵点M是DE的中点，∴DM=ME，
    又∵AF=AD，∴AM是△DEF的中位线，
    ∴AM∥EF，（7分）
    ∴∠NAE=∠AEF，
    ∴∠B=∠NAE，（8分）
    精英家教网∵∠ANB+∠B+∠BAN=180°，
    ∴∠ANB+∠NAE+∠BAN=180°，
    即∠ANB+∠BAE=180°．（10分）

    （2）不变化．如图（仅供参考），∠ANB+∠BAE=180°．（12分）
    选取（ⅰ），如图．精英家教网
    证明：延长AM到F，使MF=AM，连接DF、EF．
    ∵点M是DE的中点，
    ∴DM=ME，
    ∴四边形ADFE是平行四边形，（4分）
    ∴AD∥FE，AD=EF，∴∠DAE+∠AEF=180°，
    ∵∠BAC+∠DAE=180°，∴∠BAC=∠AEF，（6分）
    ∵AB=kAE，AC=kAD，k=1，∴AB=AE，AC=AD，
    ∴AC=EF，（7分）∴△ABC≌△EAF，∴∠B=∠EAF，（8分）
    ∵∠ANB+∠B+∠BAF=180°，∴∠ANB+∠EAF+∠BAF=180°，
    即∠ANB+∠BAE=180°．（10分）
    选取（ⅱ），如图．精英家教网
    证明：∵AB=AC，∴∠B=
    1
    2
    （180°-∠BAC），（3分）
    ∵∠BAC+∠DAE=180°，∴∠DAE=180°-∠BAC，
    ∴∠B=
    1
    2
    ∠DAE，∵AB=kAE，AC=kAD，
    ∴AE=AD，∵AM是△ADE的中线，AB=AC，
    ∴∠EAM=
    1
    2
    ∠DAE，∴∠B=∠EAM，（4分）
    ∵∠ANB+∠B+∠BAM=180°，∴∠ANB+∠EAM+∠BAM=180°，
    即∠ANB+∠BAE=180°．（5分）
    点评：本题主要考查的是相似三角形的判定与性质，三角形的中位线定理．
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    精英家教网（1）如图，若点C是AB的黄金分割点，AB=1，则AC=
     
    ，BC=
     
    ．
    （2）一条线段的黄金分割点有
     
    个．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，若点P是AB的黄金分割点，则线段AP，PB，AB满足关系式
    AP
    AB
    =
    PB
    AP
    AP
    AB
    =
    PB
    AP
    ，即AP是
    PB
    PB
    与
    AB
    AB
    的比例中项．

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    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    （1）如图，若点C是AB的黄金分割点，AB=1，则AC=______，BC=______．
    （2）一条线段的黄金分割点有______个．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图，若点P是AB的黄金分割点，则线段AP，PB，AB满足关系式______，即AP是______与______的比例中项．
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