Question

如图，正方形ABCD中，E为AB边上一点，过点D作DF⊥DE，与BC延长线交于点F．连接EF，与CD边交于点G，与对角线BD交于点H．
（1）若BF=BD=，求BE的长；
（2）若∠ADE=2∠BFE，求证：FH=HE+HD．

Answer 1

（1）解：∵四边形ABCD正方形，
∴∠BCD=90°，BC=CD，
∴Rt△BCD中，BC²+CD²=BD²，
即BC²=（）²-（BC）²，
∴BC=AB=1，
∵DF⊥DE，
∴∠ADE+∠EDC=90°=∠EDC+∠CDF，
∴∠ADE=∠CDF，
在△ADE和△CDF中，
∵，
∴△ADE≌△CDF（ASA），
∴AE=CF=BF-BC=-1，
∴BE=AB-AE=1-（-1）=2-；

（2）证明：在FE上截取一段FI，使得FI=EH，
∵△ADE≌△CDF，
∴DE=DF，
∴△DEF为等腰直角三角形，
∴∠DEF=∠DFE=45°=∠DBC，
∵∠DHE=∠BHF，
∴∠EDH=∠BFH（三角形的内角和定理），
在△DEH和△DFI中，
∵，
∴△DEH≌△DFI（SAS），
∴DH=DI，
又∵∠HDE=∠BFE，∠ADE=2∠BFE，
∴∠HDE=∠BFE=∠ADE，
∵∠HDE+∠ADE=45°，
∴∠HDE=15°，
∴∠DHI=∠DEH+∠HDE=60°，
即△DHI为等边三角形，
∴DH=HI，
∴FH=FI+HI=HE+HD．
分析：（1）由四边形ABCD正方形，BF=BD=，由勾股定理即可求得BC的长，又由DF⊥DE，易证得△ADE≌△CDF，即可求得BE的长；
（2）首先在FE上截取一段FI，使得FI=EH，由△ADE≌△CDF，易证得△DEH≌△DFI，即可得DH=DI，又由∠ADE=2∠BFE，易证得△DHI为等边三角形，即可得DH=HI，继而可得FH=HE+HD．
点评：此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质以及等边三角形的判定与性质．此题综合性较强，难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．