Question

已知：如图，⊙O₂过⊙O₁的圆心O₁，且与⊙O₁内切于点P，弦AB切⊙O₂于点C，PA、PB分别与⊙O₂交于D、E，延长PC交⊙O₁于点F，连接CD、CE、AF．
求证：（1）PF平分∠APB；（2）CP²=2PD•EP．

Answer 1

分析：（1）连接DE，过P作两圆的切线MN，由MN切圆O₁，圆O₂于P，可以推出DE∥BC，得到∠BCE=∠CED，即可推出∠APC=∠BPC，得到答案；
（2）连接O₁D，O₁O₂，由切线AB推出∠ACP=∠CEP，能得到△ACP和△CEP相似，得出PC²=PE•AP，再由垂径定理得出
AP=2DP，代入即可得到答案．

解答：证明：（1）连接DE，过P作两圆的切线MN，
∵MN切圆O₁，圆O₂于P，
∴∠MPA=∠B=∠PED，
∴DE∥BC，
∴∠BCE=∠CED，
∵AB且圆O₂于C，
∴∠BCE=∠BPC，
∵∠CED=∠DPC，
∴∠APC=∠BPC，
即：PF平分∠APB．

（2）连接O₁D，O₁O₂，
则O₁O₂过P，
∵O₁P是直径，
∴∠O₁DP=90°，
∵O₁D过圆心O₁，
∴AD=PD=

1

2

AP，
∵AB切圆O₂于C，
∴∠ACP=∠CEP，
∵∠APC=∠BPC，
∴△ACP∽△CEP，
∴

PC

AP

=

PE

PC

，
∴PC²=PE•AP=2PD•EP，
即：PC²=2PD•EP．

点评：本题主要考查了切线的性质，平行线的性质和判定，相似三角形的性质和判定等知识点，正确作辅助线是解此题的关键，题型很好，综合性比较强．此题有一定的难度．