如图所示.有一张矩形纸片ABCD.E.F分别是BC.AD上的点.若EF将矩形ABCD分成面积相等的两部分.设AB=a.AD=b.BE=x． (1)求证:AF=EC, (2)用剪刀将该纸片沿直线EF剪开后.再将梯形纸片ABEF沿AB对称翻折.平移拼接在梯ECDF的下方.使一底边重合.一腰落在DC的延长线上.拼接后.下方梯形记作． ①x∶b为何值时.直线经过原矩形的一个顶点? � 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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(2003·江西)如图所示，有一张矩形纸片ABCD，E、F分别是BC、AD上的点(但不与顶点重合)，若EF将矩形ABCD分成面积相等的两部分，设AB=a，AD=b，BE=x．

(1)求证：AF=EC；

(2)用剪刀将该纸片沿直线EF剪开后，再将梯形纸片ABEF沿AB对称翻折，平移拼接在梯ECDF的下方，使一底边重合，一腰落在DC的延长线上，拼接后，下方梯形记作．

　　①x∶b为何值时，直线经过原矩形的一个顶点？

　　②在直线经过原矩形的一个顶点的情形下，连接，直线与EF是否平行？你若认为平行，请给予证明；你若认为不平行，试探究当a与b有何种数量关系，它们就垂直？

答案：略
解析：

　　解　(1)∵EF将矩形ABCD分成面积相等的两部分，则有

　　，

　　又　EC=b－x，

　　∴AF=EC．

(2)①当直线经过原矩形的顶点D时，如图a．

　　解法1

　　∵．

　　∴．

　　即，∴．

　　当直线经过原矩形的顶点A时，如图b．

　　∵，

　　∴．∴．

　　即2(b－x)=x＋b，

　　解得．

　　解法2　如图a，过F和FN⊥BC于N．

　　∵，

　　，

　　∴Rt△FNE≌Rt△DCE．

　　∴NE=EC．又BN=AF=EC，

　　∴．∴．

　　如图b，过作⊥BC于M．

　　∵，

　　∴．

　　∴BE=EM．∵，

　　∴．∴．

　　∴当x∶b的值为或时，直线经过原矩形的一个顶点．

　　②如图a，当直线经过原矩形的顶点D时，．

　　证明：连接BF．∵∴四边形BFDE是平行四边形．

　　．又，

　　．又．

　　四边形是平行四边形．

　　．

　　如图b，当直线经过原矩形的顶点A时，显然与EF不平行，设直线EF与的交点为G．

　　∵，

　　又∠BEG=FEM，∴．

　　若，则．

　　在的情况下，不妨设∠EBG=α，

　　则．

则有，

　　∴．

　　∵a＞0，b＞0，

　　∴．

　　容易推得，当时，与EF垂直．

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