Question

在上劳技课时，张老师拿出一张边长为2

3

的等边△ABC纸片，现要在这块纸片上裁剪出四个圆，若记这块△ABC纸片的中心为M，半径为m，在△ABC内部画一个⊙M后，再作三个半径都为n的等圆⊙O₁、⊙O₂、⊙O₃，使它们分别与△ABC的两边相切，与⊙M外切，建立直角坐标系如图所示．
（1）写出点M的坐标；
（2）求出m与n的函数关系式，并求自变量n的取值范围约在哪两个数之间（精确到0.1）；
（3）若记这四个圆的面积总和为S，试问S有最小值吗？若有，求出这个最小值，并写出相应的m值．

Answer 1

分析：（1）连接AM并延长交BC于N，根据等边三角形的性质求出BN，根据勾股定理求出AN，求出ON即可；
（2）连接DO₃，求出AO₃=2DO₃=2n，根据AN的长度得到3=1+m+m+n+2n求出即可；
（3）根据圆的面积公式得到S=πm²+3πn²，代入求出即可．

解答：解：（1）连接AM并延长交BC于N，
∵M是等边△ABC的中心，
∴AM=2NM，AN⊥BC，CN=BN，∠BAN=

1

2

∠BAC=30°，
由勾股定理得：AN=

(2 3 )2-( 3 )2

=3，
∴MN=1，
∴M（

3

，1），
答：点M的坐标是（

3

，1）．

（2）连接DO₃，
∵∠BAN=30°，∠O₃DA=90°，
∴AO₃=2DO₃=2n，
∴3=1+m+m+n+2n，
∴m=-3n+2，（0.3＜n＜0.6）；
答：m与n的函数关系式是m=-3n+2，并求自变量n的取值范围约在0.3-0.6之间．

（3）S=πm²+3πn²=π（-3n+2）²+3πn²=π（12 n²-12n+4）=12π（n-0.5）²+π，
当n=0.5，即m=0.5时，S有最小值，最小值为S=π．
答：S有最小值，这个最小值是π，m值是0.5．

点评：本题主要考查对等边三角形的性质，二次函数的最值，相切两圆的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形性质，坐标与图形性质等知识点的连接和掌握，能综合运用这些性质进行推理和计算是解此题的关键．