【题目】如图,在菱形ABCD中,AB=2,∠BAD=60°,过点D作DE⊥AB于点E,DF⊥BC于点F.
(1)如图1,连接AC分别交DE、DF于点M、N,求证:MN= AC;
(2)如图2,将△EDF以点D为旋转中心旋转,其两边DE′、DF′分别与直线AB、BC相交于点G、P,连接GP,当△DGP的面积等于3 时,求旋转角的大小并指明旋转方向.
【答案】
(1)
解:证明:如图1 ,
连接BD,交AC于O,
在菱形ABCD中,∠BAD=60°,AD=AB,
∴△ABD为等边三角形,
∵DE⊥AB,
∴AE=EB,
∵AB∥DC,
∴ = ,
同理, = ,
∴MN= AC;
(2)
解:解:∵AB∥DC,∠BAD=60°,
∴∠ADC=120°,又∠ADE=∠CDF=30°,
∴∠EDF=60°,
当∠EDF顺时针旋转时,
由旋转的性质可知,∠EDG=∠FDP,∠GDP=∠EDF=60°,
DE=DF= ,∠DEG=∠DFP=90°,
在△DEG和△DFP中,
,
∴△DEG≌△DFP,
∴DG=DP,
∴△DGP为等边三角形,
∴△DGP的面积= DG2=3 ,
解得,DG=2 ,
则cos∠EDG= = ,
∴∠EDG=60°,
∴当顺时针旋转60°时,△DGP的面积等于3 ,
同理可得,当逆时针旋转60°时,△DGP的面积也等于3 ,
综上所述,将△EDF以点D为旋转中心,顺时针或逆时针旋转60°时,△DGP的面积等于3 .
【解析】(1)连接BD,证明△ABD为等边三角形,根据等腰三角形的三线合一得到AE=EB,根据相似三角形的性质解答即可;
(2)分∠EDF顺时针旋转和逆时针旋转两种情况,根据旋转变换的性质解答即可.本题考查的是菱形的性质和旋转变换,掌握旋转的性质:①对应点到旋转中心的距离相等;②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;③旋转前、后的图形全等是解题的关键.
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】随着经济的发展,能源与环境已成为人们日益关注的问题.据统计,全球每年大约会产生近3亿吨的塑料垃圾(例如平时用的矿泉水瓶子等)和约5亿吨的废钢铁(例如平时扔掉的易拉罐等),某中学为了培养学生的环保意识,开展了“环境保护,从我做起”的主题活动,七(2)班同学在活动中积极响应,在甲小区设立了回收塑料瓶和易拉罐的两个垃圾桶,班长小明对2周的收集情况进行了统计,根据下列统计表和废品收购站的价格表,解决下列问题:
(1)全班2周共收集了 斤塑料瓶,收集了 斤易拉罐.
(2)班委会决定给贫困山区的孩子们捐赠一套价值50.4元的励志丛书,你认为按照这样的收集速度,至少需要收集几周才能实现这个愿望?写出计算过程.
(3)七(1)班在乙小区也设立了塑料瓶和易拉罐的回收点,两周收集塑料瓶和易拉罐共计440个,按相同价格出售后,所得金额比七(2)班两个周的废品回收金额多1.8元,求七(1)班同学两周收集的塑料瓶和易拉罐各多少个?
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】(本题满分8分)如图,南北方向线MN以西为我国领海,以东为公海.上午9时50分,我缉私艇A发现正东方向有一走私艇C以13海里/时的速度偷偷向我领海驶来,便立即通知正在MN线上巡逻的缉私艇B.已知A,C两艇的距离是13海里,A,B两艇的距离是5海里,缉私艇B与C艇的距离是12海里,若C艇的速度不变,那么它最早会在什么时间进入我国领海?
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【题目】像(+2)(﹣2)=1、=a(a≥0)、(+1)(﹣1)=b﹣1(b≥0)……两个含有二次根式的代数式相乘,积不含有二次根式,我们称这两个代数式互为有理化因式.例如,与, +1与﹣1,2+3与2﹣3等都是互为有理化因式.进行二次根式计算时,利用有理化因式,可以化去分母中的根号.请完成下列问题:
(1)化简:;
(2)计算:;
(3)比较与的大小,并说明理由.
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【题目】一次数学测试后,随机抽取6名学生成绩如下:86,85,88,80,88,95,关于这组数据说法错误的是( )
A.方差是20
B.众数是88
C.中位数是86
D.平均数是87
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【题目】2017年体育中考在即,学校体育组对九(1)班50名学生进行了长跑项目的测试,根据测试成绩制作了如图两个统计图.
根据统计图解答下列问题:
(1)本次测试的学生中,得4分的学生有多少人?
(2)本次测试的平均分是多少?
(3)该校九年级共有600名学生参加了长跑项目的测试,估计测试成绩在4分以上(含4分)的人数.
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,AC是平行四边形ABCD的对角线,E、H分别为边BA和边BC延长线上的点,连接EH交AD、CD于点F、G,且EH∥AC.
(1)求证:EG=FH;
(2)若△ACD是等腰直角三角形,∠ACD=90°,F是AD的中点,AD=6,连接BF,求BF的长.
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