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【题目】如图,在菱形ABCD中,AB=2,∠BAD=60°,过点D作DE⊥AB于点E,DF⊥BC于点F.
(1)如图1,连接AC分别交DE、DF于点M、N,求证:MN= AC;
(2)如图2,将△EDF以点D为旋转中心旋转,其两边DE′、DF′分别与直线AB、BC相交于点G、P,连接GP,当△DGP的面积等于3 时,求旋转角的大小并指明旋转方向.

【答案】
(1)

解:证明:如图1

连接BD,交AC于O,

在菱形ABCD中,∠BAD=60°,AD=AB,

∴△ABD为等边三角形,

∵DE⊥AB,

∴AE=EB,

∵AB∥DC,

=

同理, =

∴MN= AC;


(2)

解:解:∵AB∥DC,∠BAD=60°,

∴∠ADC=120°,又∠ADE=∠CDF=30°,

∴∠EDF=60°,

当∠EDF顺时针旋转时,

由旋转的性质可知,∠EDG=∠FDP,∠GDP=∠EDF=60°,

DE=DF= ,∠DEG=∠DFP=90°,

在△DEG和△DFP中,

∴△DEG≌△DFP,

∴DG=DP,

∴△DGP为等边三角形,

∴△DGP的面积= DG2=3

解得,DG=2

则cos∠EDG= =

∴∠EDG=60°,

∴当顺时针旋转60°时,△DGP的面积等于3

同理可得,当逆时针旋转60°时,△DGP的面积也等于3

综上所述,将△EDF以点D为旋转中心,顺时针或逆时针旋转60°时,△DGP的面积等于3


【解析】(1)连接BD,证明△ABD为等边三角形,根据等腰三角形的三线合一得到AE=EB,根据相似三角形的性质解答即可;
(2)分∠EDF顺时针旋转和逆时针旋转两种情况,根据旋转变换的性质解答即可.本题考查的是菱形的性质和旋转变换,掌握旋转的性质:①对应点到旋转中心的距离相等;②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;③旋转前、后的图形全等是解题的关键.

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