Question

如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连结AG、CF．下列结论：
①△ABG≌△AFG：②BG=GC；③AG∥CF；④∠GAE=45°；⑤S_△FGC=3．
其中正确结论的个数是（　　）

A．5

B．4

C．3

D．2

Answer 1

分析：根据正方形的性质得出AB=AD=DC=6，∠B=D=90°，求出DE=2，AF=AB，根据HL推出Rt△ABG≌Rt△AFG，推出BG=FG，∠AGB=∠AGF，设BG=x，则CG=BC-BG=6-x，GE=GF+EF=BG+DE=x+2，在Rt△ECG中，由勾股定理得出（6-x）²+4²=（x+2）²，求出x=3，得出BG=GF=CG，求出∠AGB=∠FCG，推出AG∥CF，根据全等得出∠DAE=∠FAE，∠BAG=∠FAG，求出∠EAG=∠EAF+∠GAF=45°，根据三角形面积求出

S△CFG

S△CEG

=

FG

GE

=

3

5

，求出S_△GCE=6，求出S_△CFG=

18

5

．

解答：解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=DC=6，∠B=D=90°，
∵CD=3DE，
∴DE=2，
∵△ADE沿AE折叠得到△AFE，
∴DE=EF=2，AD=AF，∠D=∠AFE=∠AFG=90°，
∴AF=AB，
∵在Rt△ABG和Rt△AFG中

AG=AG AB=AF

∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），∴①正确；
∵Rt△ABG≌Rt△AFG，
∴BG=FG，∠AGB=∠AGF，
设BG=x，则CG=BC-BG=6-x，GE=GF+EF=BG+DE=x+2，
在Rt△ECG中，由勾股定理得：CG²+CE²=EG²，
∵CG=6-x，CE=4，EG=x+2
∴（6-x）²+4²=（x+2）²
解得：x=3，
∴BG=GF=CG=3，∴②正确；
∵CG=GF，
∴∠CFG=∠FCG，
∵∠BGF=∠CFG+∠FCG，
又∵∠BGF=∠AGB+∠AGF，
∴∠CFG+∠FCG=∠AGB+∠AGF，
∵∠AGB=∠AGF，∠CFG=∠FCG，
∴∠AGB=∠FCG
∴AG∥CF，∴③正确；
∵△ADE沿AE折叠得到△AFE，
∴△DAE≌△FAE，
∴∠DAE=∠FAE，
∵△ABG≌△AFG，
∴∠BAG=∠FAG，
∵∠BAD=90°，
∴∠EAG=∠EAF+∠GAF=

1

2

×90°=45°，∴④正确；
∵△CFG和△ECEG中，分别把FG和GE看作底边，
则这两个三角形的高相同．
∴

S△CFG

S△CEG

=

FG

GE

=

3

5

，
∵S_△GCE=

1

2

×3×4=6，
∴S_△CFG=

3

5

×6=

18

5

，∴⑤错误；
故选B．

点评：本题考查了正方形性质，折叠性质，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，平行线的判定等知识点的运用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力，难度偏大．