Question

如图，矩形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OC=4，D为边OC的中点，E、F为边OA上的两个动点，且EF=2，当四边形BDEF的周长最小时，点E的坐标为

 

．

Answer 1

考点：轴对称-最短路线问题,坐标与图形性质

专题：

分析：由于DB、EF的长为定值，如果四边形BDEF的周长最小，即DE+FB有最小值．为此，作点D关于x轴的对称点D'，在CB边上截取BG=2，当点E在线段D′G上时，四边形BDEF的周长最小．

解答：解：如图，
作点D关于x轴的对称点D'，在CB边上截取BG=2，连接D'G与x轴交于点E，在EA上截取EF=2，
∵GB∥EF，GB=EF，
∴四边形GEFB为平行四边形，有GE=BF．
又DB、EF的长为定值，
∴此时得到的点E、F使四边形BDEF的周长最小，
∵OE∥BC，
∴Rt△D'OE∽Rt△D'CG，有

OE

CG

=

D′O

D′C

，
∴OE=

D′O•CG

D′C

=

2×1

6

=

1

3

，
∴点E的坐标为（

1

3

，0）．
故答案为：（

1

3

，0）．

点评：此题主要考查轴对称--最短路线问题，解决此类问题，一般都是运用轴对称的性质，将求折线问题转化为求线段问题，其说明最短的依据是三角形两边之和大于第三边．