Question

9．如图，已知矩形ABCD的边长AB=2，BC=3，点P是AD上一动点（点P异于A、D两点），Q是BC上任意一点，连结AQ、DQ，过P作PE∥DQ交AQ于E，作PF∥AQ交DQ于F．
（1）填空：△APE∽△ADQ，△DPF∽△DAQ．
（2）设AP的长为x，△APE的面积为y₁，△DPF的面积为y₂，分别求出y₂和y₁关于x的函数关系式；
（3）在边AD上是否存在这样的点P，使△PEF的面积为$\frac{3}{4}$？若存在求出x的值；若不存在请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据相似三角形的判定定理证明即可；
（2）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可；
（3）根据题意列出一元二次方程，解方程即可．

解答 解：（1）∵PE∥DQ，
∴△APE∽△ADQ，
∵PF∥AQ，
∴△DPF∽△DAQ，
故答案为：ADQ；DAQ；
（2）设△ADQ的面积为y，
∴S=$\frac{1}{2}$×AD×AB=3，
由△APE∽△ADQ得：y₁：y=（$\frac{AP}{AD}$）²=$\frac{{x}^{2}}{9}$，
∴y₁=$\frac{1}{3}$x²，
同理可得y₂=$\frac{1}{3}$（3-x）²；
（3）∵PE∥DQ，PF∥AQ，
∴四边形PEQF是平行四边形，
∴△PEF的面积等于$\frac{1}{2}$（y-y₁-y₂）=-$\frac{1}{3}$x²+x
当y=$\frac{3}{4}$时，则-$\frac{1}{3}$x²+x=$\frac{3}{4}$，
解这个方程得：x=$\frac{3}{2}$，
即存在这样的点P，当x=$\frac{3}{2}$时是△PEF的面积为$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查的是相似三角形的知识的综合运用，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．