Question

如图，直线l₁⊥x轴于点A（2，0），点B是直线l₁上的动点．直线l₂：y=x+1交l₁于点C，过点B作直线l₃垂直于l₂，垂足为D，过点O，B的直线l₄交l₂于点E，当直线l₁，l₂，l₃能围成三角形时，设该三角形面积为S₁，当直线l₂，l₃，l₄能围成三角形时，设该三角形面积为S₂．
（1）若点B在线段AC上，且S₁=S₂，则B点坐标为    ；
（2）若点B在直线l₁上，且S₂=S₁，则∠BOA的度数为    ．

Answer 1

【答案】分析：（1）设B的坐标是（2，m），则△BCD是等腰直角三角形，即可表示出S₁，求得直线l₁的解析式，解方程组即可求得E的坐标，则S₂的值即可求得，根据S₁=S₂，即可得到一个关于m的方程从而求得m的值；
（2）根据S₂=S₁，即可得到一个关于m的方程从而求得m的值，得到AB的长，从而求得∠BOA的正切值，求得角的度数．
解答：解：（1）设B的坐标是（2，m），则△BCD是等腰直角三角形．
BC=|3-m|，
则BD=CD=BC=|3-m|，S₁=×（|3-m|）²=（3-m）²．
设直线l₄的解析式是y=kx，则2k=m，解得：k=，
则直线的解析式是y=x．
根据题意得：，解得：，
则E的坐标是（，）．
S_△BCE=BC•||=|3-m|•||=．
∴S₂=S_△BCE-S₁=-（3-m）^2_．
当S₁=S₂时，-（3-m）²=（3-m）²．
解得：m₁=4（不合题意舍去）或m₂=0，
则B的坐标是（2，0）；

（2）当S₂=S₁时，-（3-m）²=（3-m）²．
解得：m=4+2或4-2．
则AB=4+2或4-2．
∴tan∠BOA=2+或2-．
∴∠BOA=75°或15°．
点评：本题考查了一次函数与三角函数，三角形的面积，正确表示出S₂是关键．