Question

在矩形ABCD中，△ABD沿对角线BD对折，A与A′重合，AD=8，AB=6，A′D与BC相交于O．
（1）求证：△A′BO≌△DOC．
（2）求BO的长．
（3）求证：四边形A′CDB为等腰梯形．

Answer 1

分析：（1）由∠OA′B=∠OCD，∠BOA′=∠OCD，A′B=CD，易证△A′BO≌△DOC．
（2）由BO+OC=8，OB²=OD²=OC²+36，可解出OB的值．
（3）先证四边形A′CDB为梯形，由（1）中△A′BO≌△DOC，可得

OB

OC

=

OD

OA′

，由平行线分线段成比例定理可证A′C∥DB，再说明是等腰梯形得证．

解答：（1）证明：在△A′BO与△DOC中，

∠BOA′=∠OCD ∠OA′B=∠OCD A′B=CD

，
∴△A′BO≌△DOC（AAS）；

（2）解：BO+OC=8，OB²=OD²=OC²+36，
解得BO=6.25（4分）

（3）证明：∵△A′BO≌△DOC，
∴OB=OD，OC=OA′，
∴

OB

OC

=

OD

OA′

，
∴A′C∥DB，
又∵A′B=CD，
∴四边形A′CDB为等腰梯形．（4分）

点评：本题综合考查了三角形全等的判定，等腰梯形的判定，以及用方程思想解决几何问题等知识．