Question

20．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，作CD⊥AB，垂足为D，E为弧BC的中点，连接AE、BE，AE交CD于点F．
（1）求证：∠AEC=90°-2∠BAE；
（2）过点E作⊙O的切线，交DC的延长线于G，求证：EG=FG；
（3）在（2）的条件下，若BE=4$\sqrt{5}$，CF=6，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）连接AC、BC，先根据等弧得：∠AEC=∠BAE，则∠CAB=2∠BAE，再由直径所对的圆周角为直角得：∠ACB=90°，直角三角形的两锐角互余得：∠CAB+∠CBA=90°，等量代换可得结论；
（2）如图2，连接EO设∠OEA=∠OAE=α，证明∠GFE=∠GEF=90°-α，则GE=GF；
（3）如图3，作辅助线，构建直角三角形，证明∠COM=∠BOM则OM⊥BC，由（2）得∠GEM=90°，则CM∥EG，CF=CN=6，设MN=x，则CM=BM=6+x，根据三角函数得：cos∠EBM=$\frac{MB}{EB}=\frac{EB}{BN}$，列式求得x的值，在△OBM中，设OM=m，则OE=OB=m+4，根据勾股定理列方程可得结论．

解答 证明：（1）连接AC、BC，
∴∠CEA=∠CBA，
∵E为$\widehat{BC}$的中点，
∴$\widehat{BE}$=$\widehat{CE}$，
∴∠CAE=∠BAE，
∴∠CAB=2∠BAE，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAB+∠CBA=90°，
∴2∠BAE+∠AEC=90°，
∴∠AEC=90°-2∠BAE；

（2）连接EO，
∵OA=OE，
∴∠OEA=∠OAE，
设∠OEA=∠OAE=α，
∵EG为切线，
∴OE⊥EG，
∴∠OEG=90°，
∴∠GEA=90°-∠AEO=90°-α，
∵DG⊥AB，
∴∠FDA=90°，
∴∠FAD+∠AFD=90°，
∴∠AFD=90°-α=∠GFE，
∴∠GFE=∠GEF=90°-α，
∴GE=GF；

（3）如图3，连接CE、CB、OE、OC，CB与AE交于点N，CB与OE交于点M，
∵E为$\widehat{BC}$的中点，
∴∠COM=∠BOM，
∵OC=OB，
∴OM⊥BC，
∴∠OMB=90°，
由（2）得∠GEM=90°，
∴CM∥EG，
∴∠GEF=∠CNF，
∵∠GFE=∠GEF，
∴∠CFE=∠CNF，
∴CF=CN=6，
设MN=x，则CM=BM=6+x，
cos∠EBM=$\frac{MB}{EB}=\frac{EB}{BN}$，
∴$\frac{6+x}{4\sqrt{5}}$=$\frac{4\sqrt{5}}{6+2x}$，
解得：x₁=2，x₂=-11（舍），
MB=6+x=6+2=8，
由勾股定理得：ME=$\sqrt{B{E}^{2}-B{M}^{2}}$=$\sqrt{（4\sqrt{5}）^{2}-{8}^{2}}$=4，
在△OBM中，设OM=m，则OE=OB=m+4，
OM²+MB²=OB²，
即m²+8²=（m+4）²，
∴OM=m=6，
∴OE=OB=6+4=10．
则⊙O的半径为10．

点评 本题是圆的综合题，考查了圆的切线的性质、勾股定理、三角函数、圆周角定理、垂径定理等知识，在圆中求线段的长常利用三角函数或勾股定理列等式求解，本题也是如此，第三问设未知数列方程是关键．