Question

（2012•北碚区模拟）已知：如图（1），在平行四边形ABCD中，对角线CA⊥BA，AB=AC=8cm，四边形A₁B₁C₁D₁是平行四边形ABCD绕点A按逆时针方向旋转45°得到的，A₁D₁经过点C，B₁C₁分别与AB、BC相交于点P、Q．
（1）求四边形CD₁C₁Q的周长；（保留无理数，下同）
（2）求两个平行四边形重合部分的四边形APQC的面积S；
（3）如图（2），将平行四边形A₁B₁C₁D₁以每秒1cm的速度向右匀速运动，当运动到B₁C₁在直线AC上时停止运动．设运动的时间为x（秒），两个平行四边形重合部分的面积为y（cm²）．求y关于x的函数关系式，并探索是否存在一个时刻x，使得y取最大值？若存在，请你求出这个最大值；若不存在，请你说明理由．

Answer 1

分析：（1）先由图形旋转的性质得出△ABC和△ADC都是等腰直角三角形，故∠BCA=∠D₁=45°，所以CQ∥D₁C₁，四边形CD₁C₁Q是平行四边形，由平行四边形的性质可知C₁D₁=B₁A₁=AB=8，CD₁=A₁D₁-AC=8

2

-8，故可得出结论；
（2）在等腰直角△A₁B₁P中，由A₁B₁=8，可求出PA₁，PQ的长，再由梯形的面积公式即可求出四边形APQC的面积；
（3）当平行四边形A₁B₁C₁D₁运动到点C₁在BC上时，如图②，则C₁与Q重合，这时运动距离为C₁H （如图①），所以C₁ H=QC₁=CD₁=8

2

-8，这时运动时间 x=8

2

-8，当若0≤x≤8

2

-8时，y=S_{四边形ABCD}-S_△BPQ-S_△A2C2D，由此可得出y与x的函数关系式，由二次函数的顶点坐标可求出y的最大值；当8

2

-8≤x≤4

2

时，由P C₁=PA₁=4

2

，AA₁=A₁A₂=x，C₂C₃=C₂D₁=8

2

-8，所以y=S_{梯形A1PC1D1}-S_△AA1A2-S_△C2C3D1，故可得出y与x的函数关系式，由二次函数的顶点坐标可求出y的最大值，比较出两最值的大小即可．

解答：解：（1）∵由条件可知△ABC和△ADC都是等腰直角三角形，
∴∠BCA=∠D₁=45°，
∴CQ∥D₁C₁，
∴四边形CD₁C₁Q是平行四边形．
∴C₁D₁=B₁A₁=AB=8，CD₁=A₁D₁-AC=8

2

-8．   
∴四边形CD₁C₁Q的周长为[（8

2

-8）+8]×2=16

2

（cm）． 

（2）如图①，
∵在等腰直角△A₁B₁P中，A₁B₁=8，
∴PA₁=4

2

，PQ=BP=8-4

2

． 
∴两个平行四边形重合部分的面积为：
S=S_{四边形APQC}=

1

2

×(8-4

2

+8)×4

2

=（32

2

-16）（cm²）．

（3）∵当平行四边形A₁B₁C₁D₁运动到点C₁在BC上时，如图②，则C₁与Q重合，这时运动距离为C₁H （如图①），
∴C₁ H=QC₁=CD₁=8

2

-8这时运动时间 x=8

2

-8．
①若0≤x≤8

2

-8，如图③，AA₁=x，AP=4

2

-x，
PQ=BP=AB-AP=8-（4

2

-x）=x+8-4

2

，A₂C₂=8-x．
y=S_{四边形ABCD}-S_△BPQ-S_△A2C2D=AB×AC-

1

2

×BP²-

1

2

×C₂D²
=8×8-

1

2

×（x+8-4

2

）²-

1

2

×（8-x）²=-x²+4

2

x+32

2

-16．
∵-

b

2a

=2

2

，0＜2

2

＜8

2

-8，
∴当x=2

2

时，y_最大1=32

2

-8．
②若8

2

-8≤x≤4

2

，如图④，
∵P C₁=PA₁=4

2

，AA₁=A₁A₂=x，C₂C₃=C₂D₁=8

2

-8．
∴y=S_{梯形A1PC1D1}-S_△AA1A2-S_△C2C3D1=

1

2

×(4

2

+8

2

)×4

2

-

1

2

x2-

1

2

×(8

2

-8)2=-

1

2

x²+64

2

-48．
∵-

1

2

＜0，
∴当x＞0时，y随x的增大而减小，
∴x在8

2

-8≤x≤4

2

范围内，也是y随x的增大而减小，
∴当x=8

2

-8时，y_最大2=128

2

-144．
∵y_最大2=128

2

-144=（32

2

-8）+（96

2

-136）=y_最大1+8（12

2

-17）且8（12

2

-17）＜0，
∴y_最大2＜y_最大1．（得出结论即可）
∴当x=2

2

秒时，y取最大值，这个最大值是（32

2

-8）cm²．

点评：本题考查的是相似形综合题，此题涉及到平行四边形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、梯形的判定与性质等相关知识，难度较大．