Question

如图，在矩形ABCD中，EH∥FG∥AD，EH，FG分别交AC于点M，N，EF=

1

2

AB，设四边形AMHD的面积为S₁，四边形EFNM的面积为S₂，三角形NCG的面积为S₃，则S₁，S₂，S₃的数量关系是

 

．

Answer 1

分析：取ER=AE，过点M作KP∥AB，过点T作LQ∥AB，过点R作RT∥AD，则可得四边形ABCD是矩形AD∥EH∥FG∥BC，可得四边形EMSR、AEMK、KLOM与RTQF是矩形，再利用三角形全等与相似即可求得S₂=S₁+S₃．

解答：解：取ER=AE，过点M作KP∥AB，过点T作LQ∥AB，过点R作RT∥AD，

∵四边形ABCD是矩形AD∥EH∥FG∥BC，
∴四边形EMSR、AEMK、KLOM与RTQF是矩形，
∴AE=KM=ER=MS，AK=EM=RS，
∵∠AEM=∠MST=90°，∠KAM=∠STM，
∴△AKM≌△TSM，∴ST=AK，
∴AK=KL=ST=RS，
∴S_矩形EMSR=S_矩形KLOM，
∵∠TQN=∠CGN=90°，∠TNQ=∠CNG，
∵EF=

1

2

AB
∴AE+BF=

1

2

AB，
∴EF=AE+BF，
∴RF=BF=CG，
∴△TQN≌△CGN，
∴QN=GN，
∴S_矩形LOHD=DL•DH=2NG•AE，
S_矩形RTQF=FQ•FR=2EM•CG，
∵△AEM∽△CGN，
∴

AE

CG

=

EM

NG

，
∴AE•NG=CG•EM，
∴S_矩形LOHD=S_矩形RTQF，
∵S₂=S_矩形EMSR+S_矩形RTGF+S_△MTS+S_△NQT，S₁+S₃=S_矩形KMOL+S_△AKM+S_矩形LOHD+S_△NGC，
∴S₁+S₃=S₂．
故答案为：S₁+S₃=S₂．

点评：此题考查了相似三角形的性质与判定以及矩形的性质，平行线的性质等知识，综合性很强，注意数形结合思想与整体思想的应用．