【题目】如图,抛物线y=交x轴于点A、B,交y轴于点C,点A的坐标是(-1,0),点C的坐标是(0,2).
(1)求该抛物线的解析式。
(2)已知点P是抛物线上的一个动点,点N在x轴上。
①若点P在x轴上方,且△APN是等腰直角三角形,求点N的坐标;
②若点P在x轴下方,且△APN∽△BOC,请直接写出点N的坐标。
【答案】(1)y=;
(2)①点N的坐标是(2,0)或(5,0);
②N的坐标为(5,0)或(6.5,0)或(8,0)或(44,0).
【解析】
试题分析:(1)把A、C两点的坐标代入函数解析式,即可得到关于b,c的方程组,从而求得b,c的值,求得函数的解析式;
(2)①首先由点P、A、B都在抛物线上,且A、B在x轴上,得出点A不可能是直角顶点,那么当△APN是等腰直角三角形时,∠PAN=45°.作∠BAP=45°,AP交抛物线于点P,设点P坐标是(t,).再分两种情况进行讨论:(Ⅰ)当点N是直角顶点时,过点P作
⊥x轴于点
,则
=
,依此列出方程
=t+1,解方程求出N1的坐标;(Ⅱ)当点P是直角顶点时,过点P作
⊥AP,
交x轴于点
,则AP=
,那么
=
=2-(-1)=3,则
=2+3=5,
的坐标可求;②先由抛物线解析式求出B点坐标,根据△BOC是直角三角形,得出△ANP也是直角三角形,由A点不可能是直角顶点,得出直角顶点可能是P点或N点.设点P坐标是(t,
),则
t+2<0.再分两种情况进行讨论:(Ⅰ)过A作BC的平行线,交抛物线于点P,则∠PAB=∠OBC.过P作
⊥x轴于点N1,则
∽△BOC,N1(t,0).由
∽△BOC,根据相似三角形对应边成比例求出t的值,得出点N1的坐标;过点P作
⊥AP,
交x轴于点
,则
∽△BOC.由
∽△
,根据相似三角形对应边成比例求出t的值,得出点
的坐标;(Ⅱ)在x轴下方作∠BAP=∠OCB,交抛物线于点P,过P作
⊥x轴于点
,则
∽△COB,
(t,0).由
∽△COB,根据相似三角形对应边成比例求出t的值,得出点
的坐标;过点P作
⊥AP,
交x轴于点N4,则
∽△COB.由
∽
,根据相似三角形对应边成比例求出t的值,得出点N4的坐标.
试题解析:(1)∵抛物线y=过点A(-1,0),C(0,2),∴
,解得
,∴该抛物线的解析式是:y=
;
(2)①∵点P、A、B都在抛物线上,且A、B在x轴上,∴点A不可能是直角顶点,则∠PAN=45°.如图,作∠BAP=45°,AP交抛物线于点P.设点P坐标是(t,).
(Ⅰ)过点P作⊥x轴于点
,则
=
,即-
=t+1,解得
=2,
=-1(不合题意舍去),所以
的坐标是(2,0);
(Ⅱ)当点P是直角顶点时,过点P作⊥AP,
交x轴于点
,则AP=
,
=
=2-(-1)=3,则
=2+3=5,所以
的坐标是(5,0);综上所述,点N的坐标是(2,0)或(5,0);
②∵y=,∴当y=0时,
=0,解得x=-1或4,∵A(-1,0),∴B(4,0),∴△BOC中,OB=4,OC=2,∠BOC=90°.∵△BOC是直角三角形,∴当△ANP与△BOC相似时,△ANP也是直角三角形,∵A点不可能是直角顶点,∴直角顶点可能是P点或N点.设点P坐标是(t,
),则
<0.
(Ⅰ)过A作BC的平行线,交抛物线于点P,则∠PAB=∠OBC.过P作⊥x轴于点
,则
∽△BOC,
(t,0).∵
∽△BOC,∴
=
,∴
=
==2,∴AN1=2N1P,即t+1=2(
),解得
=5,
=-1(不合题意舍去),所以点P的坐标是(5,-3),点
的坐标是(5,0);过点P作
⊥AP,
交x轴于点
,则
∽△BOC.∵
∽
,∴
,∴
=
=1.5,∴
=
=5+1.5=6.5,∴点
的坐标是(6.5,0);
(Ⅱ)在x轴下方作∠BAP=∠OCB,交抛物线于点P,过P作⊥x轴于点
,则
∽△COB,
(t,0).∵
∽△COB,∴
,∴
=
,∴
,即
=2(t+1),解得
=8,
=-1(不合题意舍去),所以点P的坐标是(8,-18),点
的坐标是(8,0);过点P作
⊥AP,
交x轴于点
,则
∽△COB.∵
∽
,∴
,∴
=
=36,∴
=8+36=44,∴点
的坐标是(44,0);综上所述,所求点N的坐标为
(5,0),
(6.5,0),
(8,0),
(44,0).
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【题目】李明到离家2.1千米的学校参加初三联欢会,到学校时发现演出道具还放在家中,此时距联欢会开始还有42分钟,于是他立即匀速步行回家,在家拿道具用了1分钟,然后立即匀速骑自行车返回学校.已知李明骑自行车到学校比他从学校步行到家用时少20分钟,且骑自行车的速度是步行速度的3倍.
(1)李明步行的速度(单位:米/分)是多少?
(2)李明能否在联欢会开始前赶到学校?
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【题目】已知:如图,等边△ABC内接于⊙O,点P是劣弧上的一点(端点除外),延长BP至D,使BD=AP,连接CD.
(1)若AP过圆心O,如图①,请你判断△PDC是什么三角形?并说明理由;
(2)若AP不过圆心O,如图②,△PDC又是什么三角形?为什么?
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【题目】如图,△ABC中,AB=BC=AC=12cm,现有两点M、N分别从点A、点B同时出发,沿三角形的边运动,已知点M的速度为1cm/s,点N的速度为2cm/s.当点N第一次到达B点时,M、N同时停止运动.
(1)点M、N运动几秒后,M、N两点重合?
(2)点M、N运动几秒后,可得到等边三角形△AMN?
(3)当点M、N在BC边上运动时,能否得到以MN为底边的等腰三角形?如存在,请求出此时M、N运动的时间.
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【题目】如图所示,一个点从数轴上的原点开始,先向右移动3单位长度,再向左移动5个单位长度,可以看到终点表示的数是-2,已知点A,B是数轴上的点,请参照图1-8并思考,完成下列各题:
(1)如果点A表示数-3,将点A向右移动7个单位长度,那么终点B表示的数是_______,A,B两点间的距离是________;
(2)如果点A表示数3,将A点向左移动7个单位长度,再向右移动5个单位长度,那么终点B表示的数是_______,A,B两点间的距离为________;
(3)如果点A表示数-4,将A点向右移动168个单位长度,再向左移动256个单位长度,那么终点B表示的数是_________,A,B两点间的距离是________.
(4)一般地,如果A点表示的数为m,将A点向右移动n个单位长度,再向左移动p个单位长度,那么,请你猜想终点B表示什么数?A,B两点间的距离为多少?
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【题目】在一张长12cm、宽5cm的矩形纸片内,要折出一个菱形.小华同学按照取两组对边中点的方法折出菱形EFGH(见方案一),小丽同学沿矩形的对角线AC折出∠CAE=∠CAD,∠ACF=∠ACB的方法得到菱形AECF(见方案二).
(1)你能说出小华、小丽所折出的菱形的理由吗?
(2)请你通过计算,比较小华和小丽同学的折法中,哪种菱形面积较大?
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