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如图,已知圆O1与圆O2相交于A,B两点,直线O1A交圆O1于C,交圆O2于D,连接CB精英家教网并延长交圆O2于E,AF切圆O1于A,交CE于F.
(1)求证:
CA
CD
=
AF
DE

(2)若
CA
AD
=
3
2
,圆O1的半径为2,且∠C=30°,求DE的长.
分析:(1)观察要证明的比例式,则需要证明AF∥DE.连接AB.根据直径所对的圆周角是直角,得∠ABC=90°,再根据圆内接四边形的外角等于它的内对角,得∠CBA=∠D=90°,根据切线的性质,得∠CAF=90°,从而根据同位角相等,得两条直线平行;
(2)由(1)得直角三角形CDE,要求DE的长,已知∠C=30°,只需求得该直角三角形的一边即可.根据已知圆的半径,得AC=4,结合(1)所证明的比例式即可求解.
解答:精英家教网(1)证明:连接AB.
∵AC是直径,
∴∠CBA=90°.
又∵四边形ABED内接于⊙O2
∴∠CBA=∠D=90°.
又∵AF切⊙O1于A点,
∴∠CAF=90°.
∴AF∥DE.
CA
CD
=
AF
DE


(2)解:∵
CA
AD
=
3
2

又∵CA=1,
∴CD=
20
3

在Rt△CDE中,tan30°=
DE
20
3

∴DE=
20
9
3
点评:此题综合运用了圆周角定理的推论、圆内接四边形的性质、切线的性质、平行线分线段成比例定理以及解直角三角形的知识.
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如图,已知圆O1与圆O2相交于A,B两点,直线O1A交圆O1于C,交圆O2于D,连接CB
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并延长交圆O2于E,AF切圆O1于A,交CE于F.
(1)求证:
CA
CD
=
AF
DE

(2)若
CA
AD
=
3
2
,圆O1的半径为2,且∠C=30°,求DE的长.

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(2)若,圆O1的半径为2,且∠C=30°,求DE的长.

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(2)若,圆O1的半径为2,且∠C=30°,求DE的长.

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