Question

8．如图1，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是（4，0），并且OA=OC=4OB，动点P在过A，B，C三点的抛物线上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P在直线AC上方的抛物线上，作PH⊥AC于点H，当PH的最大时，求出此时点P的坐标；
（3）过动点P作PE垂直于y轴于E，交直线AC于D，过点D作x轴的垂线，垂足为F，连接EF，求线段EF的最小值．

Answer 1

分析 （1）只需求出A、B、C三点的坐标，然后运用待定系数法就可求出抛物线的解析式；
（2）首先求得直线AC的表达式，然后根据平移直线AC得到直线l，当l与抛物线只有一个交点时，PH最大，设直线l解析式为：y=-x+h，与抛物线联立后即可求得点P的坐标；
（3）连接OD，易得四边形OFDE是矩形，则OD=EF，根据垂线段最短可得当OD⊥AC时，OD（即EF）最短，

解答 解：（1）由A（4，0），可知OA=4，
∵OA=OC=4OB，
∴OA=OC=4，OB=1，
∴C（0，4），B（-1，0）．  
设抛物线的解析式是y=ax²+bx+c，
则$\left\{\begin{array}{l}a-b+c=0\\ 16a+4b+c=0\\ c=4\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}a=-1\\ b=3\\ c=4\end{array}\right.$．
则抛物线的解析式是：y=-x²+3x+4；
             
（2）设直线AC的解析式为y=kx+m，
则$\left\{\begin{array}{l}4k+m=0\\ m=4\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}k=-1\\ m=4\end{array}\right.$．
∴直线AC的表达式：y=-x+4．
如图1，平移直线AC得到直线l，当l与抛物线只有一个交点时，PH最大．

设直线l解析式为：y=-x+h，
根据$\left\{\begin{array}{l}y=-{x^2}+3x+4\\ y=-x+h\end{array}\right.$，得x²-4x+h-4=0
判别式△=16-4（h-4）=0，解得，h=8
代入x²-4x+h-4=0中，得x²-4x+4=0；解得，x=2，
∴y=6，
∴P（2，6）；

（3）如图2，连接OD，

由题意可知，四边形OFDE是矩形，则OD=EF．
根据垂线段最短，可得当OD⊥AC时，OD最短，即EF最短．
由（1）可知，在直角△AOC中，OC=OA=4，
则AC=$\sqrt{C{O^2}+A{O^2}}$=4$\sqrt{2}$，
根据等腰三角形的性质，D是AC的中点．OD=EF=2$\sqrt{2}$．

点评 本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有待定系数法求抛物线的解析式，以及等腰三角形的性质．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．