Question

如图，等腰Rt△ABC中，AB=AC，∠A=90°，点D为BC边的中点，E、F分别在AB、AC上，且ED⊥FD，EG⊥BC于G点，FH⊥BC于H点，下列结论：①DE=DF；②AE+AF=AB；③S_{四边形AEDF}=S_△ABC；④EG+FH=BC．其中正确结论的序号是

1. A.
   只有②③
2. B.
   只有①②
3. C.
   只有①②③
4. D.
   ①②③④

Answer 1

D
分析：考查直角三角形及等腰三角形的性质及判定问题，利用全等三角形判断线段相等，例如在①中，可求解Rt△EGD≌Rt△DHF，同样后面几问也都可用全等解答．
解答：解：如图所示，
∵DE⊥DF，∴∠EDG+∠FDH=90°
∵∠EDG+∠GED=90°∴∠GED=∠FDH，
∴Rt△EGD≌Rt△DHF，∴DE=DF，①正确；
连接AD，由①得，DE=DF，
∵DC=AD，∠FDC=∠ADE，
∴可证△AED≌△CFD，
∴FC=AE，∴AE+AF=AB，②正确，
∵BE=AF，∠CAD=∠B=45°，AD为公共边，
∴△ADF≌△DEB，又△AED≌△CFD，∴③也正确，
④中由①得GD=FH，又∠B=45°
∴BG=EG，EG+FH=BC，④正确
∴①②③④都正确，故选D．
点评：熟练掌握等腰三角形及直角三角形的性质，能够通过全等求角相等，线段相等．